Розв’язування задач
Задачі
на другий закон Ньютона, записаний через зміну імпульсу тіла
1. Під час розв’язування задач на взаємодію тіл, другий
закон Ньютона, записаний через зміну імпульсу тіла, закон збереження імпульсу
потрібно розуміти, що таке абсолютно пружний та абсолютно непружний удари.
Під час абсолютно пружного удару тіла після взаємодії
цілком відновлюють свою форму; повна механічна енергія тіл зберігається
(звичайною мовою: з якою швидкістю тіла ударились, з такою ж швидкістю
розлетілись). Прикладом такого удару є удар тенісної кульки об стіл.
Під час
абсолютно непружного удару тіла після взаємодії рухаються як одне ціле; частина
механічної енергії перетворюється у внутрішню. Прикладом такого удару є удар
стальної кульки об стальну плиту: кулька впала, маючи перед ударом певну
швидкість, і лежить, не рухаючись, тобто і кулька і плита рухаються як одне
ціле зі швидкістю, що дорівнює нулю.
2. Сила, імпульс, швидкість – величини векторні, тому
під час розв’язування задач необхідно переходити від векторів до їх проекцій на
вибрані осі, а це означає, що потрібно буде робити певні малюнки.
Задача
№ 1
Кулька масою 100 г вільно впала на горизонтальну
поверхню, маючи в момент удару швидкість 10 м/с. Знайти зміну імпульсу підчас абсолютно
непружного та абсолютно пружного ударів. Обчислити середню силу, яка діє на
кульку під час удару, якщо непружний удар тривав 0,05 с, а пружний – 0,01 с.
Розв’язування
1. Розглянемо спочатку абсолютно непружний удар. Початкова швидкість тіла 10 м/с, кінцева – 0 м/с (кулька упала і зупинилась). Зробимо малюнок, вісь У напрямляємо завжди у бік кінцевої швидкості.
→ →
→
Δp = mV – mV0,
переходимо до проекцій на вісь У, отримаємо:
Δр = 0 – (- mV0) = mV0 = 0,1∙10 = 1 кг∙м/с.
Для визначення сили записуємо другий закон Ньютона
через імпульс у проекціях векторів:
Ft = Δp,
звідки F = Δp/t.
Підставимо значення величин, отримаємо:
F =
1/0,05 = 20 Н.
2. Розглянемо абсолютно
пружний удар. Якщо початкова швидкість тіла 10 м/с, то й кінцева – 10 м/с (з
якою швидкістю кулька упала, з такою і відскочила). Зробимо малюнок, вісь У
напрямляємо завжди у бік кінцевої швидкості.
Зміна
імпульсу
→ →
→
Δp = mV – mV0,
переходимо до проекцій на вісь У, отримаємо:
Δр = mV
– (-
mV0)
= mV + mV0
=
m(V + V0).
Підставимо значення величин:
Δр = 0,1∙20 = 2
кг∙м/с.
Для визначення сили записуємо другий закон Ньютона
через імпульс у проекціях векторів:
Ft = Δp,
звідки F = Δp/t.
Підставимо значення величин, отримаємо:
F =
2/0,01 = 200 Н.
Відповідь:
1) Δр = 1 кг∙м/с, F =
20 Н; 2) Δр = 2 кг∙м/с, F
=
200 Н
Футбольному м’ячу масою 400 г під час виконання
пенальті надали швидкості 25 м/с. Якщо м’яч влучає в груди воротаря і відскакує
назад із тією ж за модулем швидкістю, то удар триває 0,025 с. Якщо воротар
приймає удар на руки, то через 0,04 с він гасить швидкість м’яча до нуля.
Знайти середню силу удару в кожному випадку.
Розв’язування
1.Перший випадок – це випадок абсолютно пружного удару. Якщо початкова швидкість тіла 25 м/с,
то й кінцева – 25 м/с (з якою швидкістю м’яч ударився, з такою і відскочив).
Зробимо малюнок, вісь Х напрямляємо завжди у бік кінцевої швидкості.
Зміна імпульсу м’яча
→ →
→
Δp = mV – mV0,
переходимо до проекцій на вісь Х, отримаємо:
Δр = mV
– (-
mV0)
= mV + mV0
=
m(V + V0).
Для визначення сили записуємо другий закон Ньютона
через імпульс у проекціях векторів:
Ft = Δp,
звідки F = Δp/t
= [m(V + V0)] /t. Підставимо значення величин, отримаємо:
F =
(0,4∙50)/0,025 = 800 Н.
2. Другий випадок – це випадок абсолютно непружного удару. Початкова швидкість тіла 25 м/с, кінцева – 0 м/с (м’яч ударився і зупинився). Зробимо малюнок, вісь Х напрямляємо завжди у бік кінцевої швидкості. Зміна імпульсу м’яча
→ →
→
Δp = mV – mV0,
переходимо до проекцій на вісь Х, отримаємо:
Δр = 0
– (-
mV0)
= mV0.
Для визначення сили записуємо другий закон
Ньютона через імпульс у проекціях векторів:
Ft = Δp,
звідки F = Δp/t
= mV0 /t.
Підставимо значення величин, отримаємо:
F =
(0,4∙25)/0,04 = 250 Н.
Задачі на зміну імпульсу тіла
Задача
№ 3
Матеріальна точка масою 1 кг рівномірно рухається по
колу зі швидкістю 10 м/с. Знайти зміну
імпульсу за одну чверть періоду; половину періоду; період.
Розв’язування
Зміна імпульсу тіла:
→ → →
Δp = р – р0.
Ми не уміємо віднімати вектори, знаємо лише правила додавання, але математичну
операцію віднімання можна замінити додаванням:
→ → → →
Δp = р
+ (– р0). Вектор – р0 – це вектор, за модулем рівний р0, але напрямлений у
протилежний бік від вектору р0.
Для того, щоб
розв’язати задачу, для кожного випадку потрібно зробити свій малюнок.
1) Чверть періоду
Вектор р напрямлений вниз, а вектор – р0 буде напрямлений не вправо, а вліво. Намалюємо малюнок, вектор Δр дорівнює сумі векторів р і – р0, за правилом додавання векторів (правило паралелограма) вектор Δр – це діагональ прямокутника, яку знаходимо за теоремою Піфагора:
Δр = √((mV)2
+ (mV)2) = √2(mV)2
= mV∙√2.
Підставимо значення величин:
Δр = 1∙10∙√2 = 10∙1,4
= 14 кг∙м/с.
2). Половина періоду.
Зміна імпульсу:
→ →
→
Δp = р
+ (– р0). Окремо зробимо малюнок
лише векторів р і – р0, що виходять з однієї точки.
3). Період.
виходять з однієї точки.
Як бачимо, обидва вектори
напрямлені вздовж однієї прямої у протилежні сторони,
тоді:
Δp =
mV
- mV = 0.
Відповідь:
Δр = 14 кг∙м/с;
Δр = 20 кг∙м/с;
Δр = 0
Задача № 4
М’яч масою 100 г, який летів із швидкістю 20 м/с,
вдарився об горизонтальну площину. Кут падіння (кут між напрямком швидкості і
перпендикуляром до площини) дорівнює 600. Знайти зміну імпульсу,
якщо удар абсолютно пружний, а кут відбивання дорівнює куту падіння.
Розв’язування
Якщо удар пружний, то швидкість відбивання мяча
дорівнює швидкості падіння. Спочатку зробимо малюнок та записуємо формулу зміни
імпульсу:
→ → →
Δр = mV
– mV0. Переходимо до проекцій векторів на вісь У:
Δр = mVу – ( - mV0у)
= mVу + mV0у
(1),
але Vу = V0у
= V∙Cosα. Підставимо ці значення у формулу
(1):
Δр = m V∙Cosα + m V∙Cosα = 2 m V∙Cosα
Підставимо значення величин:
Δр = 2∙0,1∙20∙0,5 = 2 кг∙м/с.
Відповідь:
Δр = 2 кг∙м/с.
Немає коментарів:
Дописати коментар