П'ятниця, 15.04.2022. 9 клас

 

Розв’язування задач

Рух зв’язаних тіл

Задачі не лише прочитати, але й розібратися з їх розв’язуванням та переписати у робочий зошит!!!!

Вертикальний рух зв’язаних тіл

1.        Прикладом такого руху є рух двох тіл на нитці, перекинутої через нерухомий блок. Розглянемо алгоритм розв’язування таких задач.

Задача № 1

На шнурі, перекинутому через нерухомий блок, розташовані вантажі масами 0,3 і 0,2 кг. З яким прискоренням рухаються вантажі? Яка сила натягу шнура під час руху?

Розв’язування

Дано: m₁ = 0,3 кг; m₂ = 0,2 кг. Знайти: a -? F_н -?

1). Зробимо малюнок. На шнурі малюємо два тіла, шнур перекинутий через блок. Вертикальну вісь руху малюємо окремо від тіл (їх два, не зрозуміло, через яке з тіл проводити вісь, тому щоб не посварились, її малюємо окремо). Позначаємо напрямок прискорень обох тіл: важче тіло буде рухатися вниз, тому і прискорення напрямлене вниз; легше тіло рухається вгору, тому і прискорення напрямлене вгору.

2). Позначимо сили, що діють на тіла. На обидва тіла діють сили тяжіння m₁g та  m₂g, під дією сих сил шнур розтягується та в ньому виникає сила пружності, яку називають силою натягу. Ця сила діє на обидва тіла з однаковою по модулю величиною (бо нитка одна) і напрямлена у бік шнура.

3). Записуємо  у векторній формі другий закон Ньютона для обох тіл:

→     →   →

m₁a = F_н + m₁g

→    →    →

m₂a = F_н + m₂g

4). Від векторів перейдемо до їх проекцій на вісь У, враховуючи і напрямок прискорень:

 - m₁a = F_н - m₁g

   m₂a = F_н - m₂g,  

це система двох рівнянь. Для того, щоб розв’язати цю систему, потрібно позбутися сили натягу F_н, тому що невідома формула, за якою цю силу можна обчислити. Помножимо перше рівняння на (-1), отримаємо:

   m₁a = - F_н + m₁g (1)

m₂a = F_н - m₂g (2)

Додаємо обидва рівняння, отримаємо:

m₁a + m₂a = m₁g- m₂g,

винесемо з лівої частини рівняння спільний множник «а», а з правої частини – спільний множник  g:

а(m₁ + m₂) = g(m₁- m₂), звідки

а = (g(m₁- m₂))/ (m₁ + m₂).

Підставимо значення величин, отримаємо: 

а = (10∙0,1)/0,5 = 2 м/с². З першого рівняння системи виражаємо 

силу натягу F_н:

F_н = m₁g - m₁a = m₁(g – a) = 0,3∙(10 – 2) = 0,3∙8 = 2,4 Н

 2.     Наступний приклад вертикального руху зв’язаних тіл – це рух вантажу, прив’язаного на тросі до гелікоптера.

 Задача № 2

Гелікоптер, маса якого 27,2 т, піднімає на тросах вгору вантаж масою 15,3 т із прискоренням 0,6 м/с² . Знайти силу тяги гелікоптера і силу, яка діє з боку вантажу на причіпний механізм гелікоптера.

Розв’язування

Дано: m₁ = 27,2∙10³ кг; m₂ = 15,3∙10³ кг; a = 0,6 м/с². Знайти: F -? F_н -7

1). Зробимо малюнок обох тіл одне над одним, проведемо вісь У через обидва тіла та позначимо напрямок прискорення (один на два тіла, бо рухаються одне над одним вгору).

2). Позначимо сили, що діють на тіла. На верхнє тіло (гелікоптер) діє сила тяги (яку створює двигун), на обидва тіла діють сили тяжіння. В наслідок дії сил тяжіння і тяги троси розтягуються, виникає сила натягу, яка діє на обидва тіла з однаковою за модулем величиною і напрямлена в сторону тросів, тобто для вантажу – вгору, а для гелікоптера – вниз.

 3). Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі для обох тіл:

→     →   →     →

m₁a = F + F_н + m₁g

→      →      →

m₂a = F_н + m₂g

4). Від векторів перейдемо до їх проекцій на вісь У, враховуючи і напрямок прискорення:

m₁a = F - F_н - m₁g (1)

m₂a = F_н - m₂g (2)

Розв’яжемо систему рівнянь методом додавання, отримаємо:

m₁a + m₂a = F - m₁g- m₂g

Після математичних перетворень отримаємо:

                                     а(m₁ + m₂) = F – g(m₁ + m₂), звідки

F = а(m₁ + m₂) + g(m₁ + m₂), винесемо спільний множник 

(m₁ + m₂), отримаємо:

F = (m₁ + m₂)(а + g)

Підставимо значення величин: 

F = 42,5∙10³ ∙(9,8 + 0,6) = 442∙10³ Н = 442 кН.

З другої формули системи (так зручніше) визначимо силу натягу:

F_н = m₂ (а + g) = 15,3∙10³ ∙(9,8 + 0,6) = 159 кН.

Горизонтальний рух зв’язаних тіл

 Задача № 1

Маневровий тепловоз масою 100 т тягне два вагони масою по 50 т кожний із прискоренням 0,1 м/с² . Знайти силу тяги тепловоза і силу натягу зчіпок, якщо коефіцієнт опору руху дорівнює 0,006.

Розв’язування

Дано: m₁ = 100∙10³ кг; m₂ = m₃ = 50∙10³ кг; a = 0,1 м/с²; μ = 6∙10^-3.

Знайти: F -? F_н1 -? F_н2 -?  

1). Зробимо малюнок трьох тіл одне за одним, проведемо вісь Х через всі три тіла та позначимо напрямок прискорення (один на три тіла, бо рухаються всі в одну сторону).

2). Позначимо сили, що діють на тіла, які рухаються лише горизонтально, тому вертикальними силами можна знехтувати. На тепловоз діє сила тяги, напрямлена вперед, сила тертя, напрямлена назад, та сила натягу зв’язку, напрямлена по зв’язку назад. Зав’язків між тілами два, тому й сил натягу теж дві: для першого зв’язку сила натягу один, для другого – сила натягу два. На друге тіло (перший вагон) діють: сила натягу першого зв’язку, напрямлена по зв’язку вперед, сила натягу другого зв’язку, напрямлена по зв’язку назад та сила тертя, напрямлена назад. На третє тіло (другий вагон) діють: сила натягу другого зв’язку, напрямлена по зв’язку вперед та сила тертя, напрямлена назад.

3). Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі для обох тіл, силу тертя визначаємо за формулою F = μmg:

→     →   →     →

m₁a = F + F_н1 + μm₁g

→      →      →       →

m₂a = F_н1 + μm₂g + F_н2

→          →     →

m₃a = μm₃g + F_н2

4). Від векторів перейдемо до їх проекцій на вісь У, враховуючи і напрямок прискорення:

m₁a = F - F_н1 - μm₁g (1)

m₂a = F_н1 - μm₂g - F_н2 (2)

m₃a = F_н2 - μm₃g (3)

Ми отримали систему рівнянь з трьох рівнянь. Розв’язуємо систему методом додавання (щоб позбутися сил натягу), тоді:

m₁a + m₂a + m₃a = F - μm₁g - μm₂g - μm₃g

У лівій частині рівняння винесемо спільний множник «а», а в правій частині – спільний множник μg, отримаємо:

а(m₁ + m₂ + m₃) = F – μg(m₁ + m₂ + m₃), звідки

F = а(m₁ + m₂ + m₃) + μg(m₁ + m₂ + m₃),

У правій частині рівняння винесемо спільний множник (m₁ + m₂ + m₃), отримаємо:

F = (m₁ + m₂ + m₃)(а + μg)

Підставимо значення величин:

F = 200∙10³∙(0,1 + 0,006∙10) = 32∙10³ Н = 32 кН.

Силу натягу першого зв’язку виражаємо з першого рівняння:

F_н1 = F - μm₁g - m₁a = F - m₁(а + μg). Підставимо значення величин, отримаємо:

 F_н1 = 32∙10³ - 100∙10³∙0,16 = 32 кН – 16 кН = 16 кН.

Силу натягу другого зв’язку виражаємо з третього рівняння:

F_н2 = m₃a + μm₃g = m₃(а + μg) = 50∙10³∙0,16 = 8 кН.

 Задача № 2

Брусок масою 400 г під дією вантажу масою 100 г (дивись малюнок) проходить із стану спокою шлях 80 см за 2 с. Знайти коефіцієнт тертя.

Розв’язування

Дано: m₁ = 0,4 кг; m₂ = 0,1 кг; S = 0,8 м; V₀ = 0; t = 2 с.

Знайти: μ -?

 1). Зробимо малюнок тіл, проведемо вісь Х через перше тіло та позначимо напрямок прискорення, через друге тіло проведемо вісь У та позначимо напрямок прискорення.

2). Позначимо сили, що діють на тіла. Перше тіло рухається лише горизонтально, тому вертикальними силами, що діють на нього, можна знехтувати. На тіло діє сила натягу, напрямлена вперед по зв’язку, та сила тертя, напрямлена назад. Друге тіло рухається лише вертикально, тому на нього діють вертикальні сили. На друге тіло діють: сила натягу зв’язку, напрямлена по зв’язку вгору, та сила тяжіння, напрямлена вниз.

   

3). Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі для обох тіл, силу тертя визначаємо за формулою F = μmg:

→     →        →

m₁a = F_н + μm₁g

→      →      →      

m₂a = F_н + m₂g

 4). Від векторів перейдемо до їх проекцій на вісь Х(перше тіло) та У (друге тіло), враховуючи і напрямок прискорення:

m₁a = F_н - μm₁g (1)

m₂a = m₂g - F_н (2)

Систему рівнянь розв’яжемо методом додавання, тоді:

m₁a + m₂a = m₂g - μm₁g, або а(m₁ + m₂) = m₂g - μm₁g,  звідки

μ = (m₂g - а(m₁ + m₂))/ m₁g.

Прискорення знайдемо з формули S = V₀t + at²/2, але початкова швидкість дорівнює нулю, тоді S = at²/2, звідки 

а = 2S/t² = 2∙0,8/4 = 0,4 м/с²  

Підставимо значення величин:

μ = (0,1∙10 – 0,4∙0,5)/(0,4∙10) = 0,2.

 Домашнє завдання

Розв’язати задачі

Задачі сфотографувати та відправити за адресою  omichka@ukr.net або omichkanatali@gmail.com

Задача № 1

На нитці, перекинутій через нерухомий блок, підвішені вантажі масами 0,3 і 0,34 кг. За 2 с після початку руху кожен вантаж пройшов шлях 1,2 м. Знайти прискорення вільного падіння за даними досліду.

Задача № 2

По столу тягнуть низку з двох вантажів, прикладаючи ситу тяги 10 Н. Маси вантажів m₁ = 800 г і m₂ = 1,2 кг, коефіцієнти тертя об стіл відповідно μ₁ = 0,4 і μ₂ = 0,2. Знайдіть силу натягу нитки.

Задача № 3

Яка маса бруска на столі, якщо висячій вантаж масою 100 г опускається з прискоренням 0,3 м/с² ? Коефіцієнт тертя між бруском і столом дорівнює 0,3.