П'ятниця, 08.04.2022. 10 клас

 

10 клас

Розв’язування задач

 Перший закон термодинаміки.  Перший закон термодинаміки - це закон збереження енергія для термодинамічних систем та термодинамічних процесів. Є кілька формулювань  закону, вам потрібно знати хоча б одне: кількість теплоти, передана термодинамічній системі, витрачається на зміну внутрішньої енергії системи та виконання роботи системою над зовнішніми тілами. Цей закон можна записати у вигляді:

Q = ΔU + A

 Задача № 1

Одноатомному газу(ν = 2 моль) надано кількість теплоти 1,2 кДж. При цьому газ виконав роботу 600 Дж. На скільки змінилась температура газу?

 Розв’язування

Дано: ν = 2 моль; Q = 1200 Дж; A = 600 Дж. Знайти: ΔT -?

У задачі сказано, що газ одноатомний, тобто зміну внутрішньої енергії можна знайти за формулою ΔU = 3/2 νRΔT, звідки ΔТ = (2 ΔU)/(3νR) (1). Зміну внутрішньої енергії можна виразити з першого закону термодинаміки: 

Q = ΔU + A, звідки ΔU = Q – А (2).

Підставимо вираз (2) у формулу (1), отримаємо:

ΔТ = 2(Q – А)/(3νR)

Підставимо значення величин:

ΔТ = 2(1200 – 600)/(3∙2∙8,31) = 24 К.

Відповідь: 24 К

Задача № 2

Для ізобарного нагрівання газу, кількість речовини якого 800 молей, на 500 К йому передали кількість теплоти 9,4 МДж. Визначити роботу газу і збільшення його внутрішньої енергії.

Розв’язування

Дано: ν = 800 моль; ΔT = 500 К, Q = 9,4 МДж. Знайти: A -? ΔU -?

У задачі не сказано, що газ одноатомний, тобто зміну внутрішньої енергії не можна знаходити  за формулою ΔU = 3/2 νRΔT, але можна знайти з першого закону термодинаміки:

Q = ΔU + A, звідки ΔU = Q – A (1). Робота газу визначається за формулою

А = РΔV, але ні тиск, ні зміна об’єму газу нам невідомі. Скористаємося рівнянням Менделєєва – Клапейрона:

PV = νRT, тоді PΔV = νRΔT або

А = νRΔT. Підставимо значення величин:

А = 800∙8,31∙500 = 3324000 Дж = 3,3 МДж. З формули (1) визначаємо зміну внутрішньої енергії:

ΔU = 9,4 МДж – 3,3 МДж = 6,1 МДЖ.

Відповідь: А = 3,3 МДж, ΔU = 6,1 МДж

Задача № 3

Яку кількість теплоти необхідно передати гелію масою 12 г, щоб нагріти його на 50 К: а) при постійному тиску; б) при постійному об’ємі?

Розв’язування

Дано: m = 12 г; M = 4 г/моль; ΔT = 50 К. Знайти: Q -?

а).  Кількість теплоти знаходимо з першого закону термодинаміки:

Q = A + ΔU (1). Для того, щоб визначити кількість теплоти, необхідно обчислити зміну внутрішньої енергії і роботу газу. Гелій - газ одноатомний, тобто зміну внутрішньої енергії можна знайти за формулою:

ΔU = 3/2 (mRΔT)/M = 1,5(12∙8,31∙50/4) = 1869,75 = 1870 Дж.

Роботу газу визначаємо за формулою А = РΔV, але ні тиск, ні зміна об’єму газу нам невідомі. Скористаємося рівнянням Менделєєва – Клапейрона:

PV = mRT/M, тоді PΔV = mRΔT/M або

А = mRΔT/M. Підставимо значення величин:

 А = 12∙8,31∙50/4 = 1246,5 Дж. Підставимо значення зміни внутрішньої енергії та роботи гелію у формулу (1), отримаємо:

Q = 1869,75 + 1246,5 = 3116,25 Дж.

Відповідь: Q = 3116,25 Дж

б). Якщо об’єм сталий – це ізохорний процес, для якого перший закон термодинаміки записується у вигляді: 

Q = ΔU = 3/2 (mRΔT)/M = 1,5(12∙8,31∙50/4) = 1869,75 = 1870 Дж.

Відповідь: Q = 1870 дЖ

Задача № 4

Об’єм кисню масою 160 г, температура якого 27⁰С, при ізобарному нагріванні збільшився вдвічі. Знайти роботу газу при розширенні, кількість теплоти, яка пішла на нагрівання кисню та зміну внутрішньої енергії.

Розв’язування

Дано: m = 160 г; M = 32 г/моль; V₂ = 2V₁; T₁ = 300 К.

Знайти: A -? Q -? ΔU -?

Кисень -  газ  не одноатомний, а двохатомний газ, тобто зміну внутрішньої енергії не можна знаходити  за формулою

ΔU = 3/2 νRΔT, але можна знайти з першого закону термодинаміки:

Q = ΔU + A, звідки ΔU = Q – A (1). Кількість теплоти, що передається газу, знаходимо з формули кількості теплоти:

Q = cm(T₂ – T₁) (2),

де с – питома теплоємність кисню, яку беремо з таблиці

с = 913 Дж/кг К, m – маса кисню, виражена у кг, m = 0,16 кг, T₁ – початкова температура, T₂ – кінцева температура кисню. 

T₁ = 300 К, кінцеву температуру кисню знайдемо з закону Гей-Люссака (ізобарний процес):

V₁/T₁ = V₂/T₂ , звідки T₂ = V₂T₁/V₁ , але за умовою задачі 

V₂/V₁ = 2, тоді

T₂ = 2T₁ = 600 К. Підставимо значення всіх величин у формулу (2), отримаємо:

Q = 913∙0,16∙(600 – 300) = 43824 Дж.

Роботу газу визначаємо за формулою А = РΔV, але ні тиск, ні зміна об’єму газу нам невідомі. Скористаємося рівнянням Менделєєва – Клапейрона:

PV = mRT/M, тоді PΔV = mRΔT/M або

А = mRΔT/M. Підставимо значення величин, враховуючи, що молярна маса кисню М = 32 г/моль, тоді і масу газу берем у грамах:

 А = (160∙8,31∙300)/32 = 12465 Дж.

Підставимо значення отриманих величин у формулу (1), отримаємо:

 ΔU = 43824 – 12465 = 31359 Дж.

Відповідь: Q = 43824 Дж, А = 12465 Дж, ΔU = 31359 Дж

 

Наступні задачі на застосування закону термодинаміки для різних ізопроцесів

Застосування першого закону термодинаміки для різних ізопроцесів.

а) Ізотермічний процес. Т = const, зміна температури ΔТ = 0, тоді ΔU = 0, отримаємо:

Q = A

кількість теплоти, передана термодинамічній системі, витрачається лише на виконання роботи системою над зовнішніми тілами.

б) Ізохорний процес. V = const, зміна об'єму ΔV = 0, тоді ΔU = 0, отримаємо:

Q = ΔU

кількість теплоти, передана термодинамічній системі, витрачається лише на зміну внутрішньої енергії системи.

в) Ізобарний процес. Р = const,  зміна тиску ΔP = 0, але ΔU ≠ 0, ΔU ≠ 0, отримаємо:

Q = ΔU + A

 кількість теплоти, передана термодинамічній системі, витрачається на зміну внутрішньої енергії системи та виконання роботи системою над зовнішніми тілами.

г) Адіабатний процес - процес без теплопередачі, тобто Q = 0, тоді 0 = ΔU + A, або

                                                       ΔU = - А   

Якщо на газ діють зовнішні сили та стискають його, то   А < 0, але   ΔU > 0, якщо сам газ, розширяючись, виконує роботу, яка А > 0, тоді ΔU < 0.

 

Задача № 5

При ізобарному розширенні ідеальний одноатомний газ виконав роботу 200 Дж. Яку кількість теплоти він отримав?

Розв’язування

Дано: A = 200 Дж. Знайти: Q -?

При ізобарному процесі перший закон термодинаміки записується у вигляді:

Q = ΔU + A (1)

Робота газу визначається за формулою А = РΔV, але ні тиск, ні зміна об’єму газу нам невідомі. Скористаємося рівнянням Менделєєва – Клапейрона:

PV = νRT, тоді PΔV = νRΔT або

А = νRΔT = 200 Дж.

У задачі сказано, що газ одноатомний, тобто зміну внутрішньої енергії можна знайти за формулою ΔU = 3/2 νRΔT,

але νRΔT = 200 Дж, тоді ΔU = 3/2∙200 = 300 Дж.

Підставимо значення зміни внутрішньої енергії і роботи газу у формулу (1), отримаємо:

Q = 300 + 200 = 500 Дж.

Відповідь: Q = 500 Дж

Задача № 6

При адіабатному стисканні 5 моль одноатомного газу його температура підвищилася на 20 К. Яку роботу виконано над газом?

Розв’язування

Дано: ν = 5 моль; ΔT = 20 К. Знайти: A -?

Перший закон термодинаміки для адіабатного процесу записується у вигляді:

ΔU = - А, де А – робота газу,  робота над газом А^’ дорівнює роботі газу, взятій з протилежним знаком, тоді:

А^’ = ΔU = 3/2 νRΔT = 1,5∙5∙8,31∙20 = 1246,5 Дж.

Відповідь: А^’ = 1246,5 Дж

Задача № 7

При ізотермічному процесі газу було надано 10 кДж теплоти. Яку роботу виконав газ?

Розв’язування

Дано: Q = 10 кДж. Знайти: A -?

Перший закон термодинаміки для ізотермічного процесу записується у вигляді:

Q = А. У цій задачі Q = 10 кДж, тому і робота газу А = 10 кДж.

Відповідь: А = 10 кДж

 Задача № 8

При ізохорному процесі 3 молям одноатомному газу було надано 50 кДж теплоти. На скільки змінилась температура газу?

 Розв’язування

Дано: ν = 3 моль; Q = 50000 Дж. Знайти: ΔT -?

Перший закон термодинаміки для ізохорного процесу записується у вигляді:

Q = ΔU. У задачі сказано, що газ одноатомний, тобто зміну внутрішньої енергії можна знайти за формулою ΔU = 3/2 νRΔT, тоді:

Q = 3/2 νRΔT, звідки ΔТ = Q/(1,5 νR). Підставимо значення величин, отримаємо:

ΔТ = 50000/(1,5∙3∙8,31) = 1337 К

Відповідь: ΔТ = 1337 К

Задача № 9

При ізобарному розширенні ідеальний одноатомний газ виконав роботу 100 Дж. Яку кількість теплоти він отримав?

Розв’язування

Дано: A = 100 Дж. Знайти: Q -?

При ізобарному розширенні формула кількості теплоти знаходимо за формулою Q = ΔU + A (1), де робота A = νRΔT (2), а внутрішня енергія  

ΔU = 3/2 νRΔT = 3/2A (3). Підставимо (2) і (3) в (1), отримаємо:

Q = А + 3/2А = 5/2А = 500/2 = 250 Дж. 

 Домашнє завдання

Розв’язати задачі

Задача № 1

При ізобарному нагріванні об’єм гелію збільшився в три рази.  Яку роботу виконав газ? Яка кількість теплоти йому надана? Маса гелію 12 г, початкова температура -123⁰С.

 Задача № 2

При ізохорному процесі  одноатомному газу було надано 80 кДж теплоти. Температура газу змінилась на 160 К. Яка кількість речовини газу?

 Задача № 3

Об’єм азоту масою 280 г, температура якого 27⁰С, при ізобарному нагріванні збільшився втричі. Знайти роботу газу при розширенні, кількість теплоти, яка пішла на нагрівання азоту та зміну внутрішньої енергії, якщо питома теплоємність азоту 1050 Дж/(кг К).