Четвер, 28.04.2022. 10 клас

 

Розв’язування задач

Задачі на закон Кулона F = kq₁q₂/r² та на закон збереження електричного заряду, 

k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл².

Задача № 1 (678)

На якій відстані один від одного заряди 1 мкКл і 10 нКл взаємодіють із силою 9 мН?

Розв’язування

Дано: q = 10^-6 Кл; q₂ = 10∙10^-9 Кл; F = 9∙10^-3 Н. Знайти: r -?

З формули закону Кулона F = kq₁q₂/r² виражаємо відстань

r = √(kq₁q₂/F). Підставимо значення величин, отримаємо:

r = √(9∙10⁹∙10^-6∙10∙10^-9/9∙10^-3) = 10^-1 = 0,1 м = 10 см.

Задача № 2 (681)

Дві кульки, розташовані на відстані 10 см, мають однакові негативні заряди і взаємодіють із силою 0,23 мН. Визначити кількість «надлишкових» електронів на кожній кульці.

Розв’язування

Дано: r = 10^-1 м; F = 23∙10^-5 Н; q₁ = q₂ = q; e = 1,6∙10^-19 Кл. Знайти: N -?

У закон Кулона F = kq₁q₂/r² поставимо умову рівності зарядів 

q₁ = q₂ = q (замість q₁ та q₂ поставимо q), тоді 

F = kq²/r². Виражаємо заряд q:

q = √(Fr²/k). Підставимо значення величин, отримаємо:

q = √(23∙10^-5∙10^-2/9∙10⁹) = 1,6∙10^-8 Кл. Ми знаємо загальний заряд. Який складається із зарядів електронів, тобто q = Ne, 

звідки N = q/e. Підставимо значення величин, отримаємо:

N = 1,6∙10^-8 Кл/1,6∙10^-19 Кл = 10¹¹.

Задача № 3 (684)

Однакові металеві кульки, заряджені однойменно зарядами q і 4q, розташовані на відстані r одна від одної. Кульки доторкнули одна до одної. На яку відстань х їх треба розвести, щоб сила взаємодії не змінилася?

Розв’язування

У цій задачі потрібно використати закон збереження електричного заряду. На початку загальний заряд кульок становить q + 4q = 5q. Після дотикання цей загальний заряд розподілився навпіл (бо кульки однакові) і став на кожній кульці 2,5q.

Дано: q₁ = q; q₂ = 4q; q₃ = q₄ = 2,5q; F₁ = F₂; r₁ = r. Знайти: x -?

Записуємо закон Кулона для першого випадку:

F₁ = kq₁q₂/r² = kq∙4q/r² = 4kq²/r². Записуємо закон Кулона для другого  випадку:

F₂ = k∙2,5q∙2,5q/х² = 6,25kq²/х². Прирівняємо сили між собою:

4kq²/r² = 6,25kq²/х², скорочуємо ліву і праву частини на kq², отримаємо:

4/r² = 6,25/x². Знайдемо корені квадратні з лівої та правої частин:

2/r = 2,5/x, звідки 2x = 2,5r або x = 1,25r.

Задача № 4 (685)

Заряди 10 і 16 нКл розташовані на відстані 7 мм один від одного. Яка сила діятиме на заряд 2 нКл, розміщений у точці, що віддалена на 3 мм від меншого заряду і на 4 мм від більшого?

Розв’язування

Дано: q₁ = 10∙10^-9 Кл; q₂ = 16∙10^-9 Кл; L = 7∙10^-3 м; r₁ = 3∙10^-3 м; r₂ = 4∙10^-4 м;

q₃ = 2∙10^-9 Кл. Знайти: F -?

Зробимо малюнок, враховуючи, що однойменні заряди відштовхуються, тобто перший заряд буде відштовхувати третій із силою F₁, напрямленою вправо, а другий теж буде відштовхувати третій заряд із силою F₂, напрямленою вліво. Загальна сила дорівнює рівнодійній, яка за правилом дорівнює різниці двох сил.

Обчислимо модулі двох сил:

F₁ = kq₁q₃/r₁² = (9∙10⁹∙10∙10^-9∙2∙10^-9)/(9∙10^-6) = 20∙10^-3 Н;

F₂ = kq₂q₃/r₂² = (9∙10⁹∙16∙10^-9∙2∙10^-9)/(16∙10^-6) = 18∙10^-3 Н.

Знаходимо рівнодійну, віднімаючи від більшої сили меншу, тобто

F = F₁ – F₂ = 20∙10^-3 Н - 18∙10^-3 Н = 2∙10^-3 Н.

Задача № 5 (689)

Заряди 40 і -10 нКл розташовані на відстані 10 см один від одного. Де треба розмістити третій заряд, щоб він перебував у рівновазі?

Розв’язування

Дано: q₁ = 40∙10^-9 Кл; q₂ = 10∙10^-9 Кл; r = 10∙10^-2 м. Знайти: x -?

Подивимось, чи можна розмістити третій заряд між першим і другим зарядами.

Якщо заряд буде позитивний, то перший заряд його відштовхує, а другий притягує, і обидві сили напрямлені вправо і не урівноважуються (дивись малюнок), якщо ж заряд буде негативним, то перший заряд його притягує, другий – відштовхує, тобто обидві сили напрямлені вліво і теж не урівноважуються, це означає, що третій заряд треба розмістити зліва або справа від зарядів (дивись малюнок).

Розмістимо третій заряд справа, як на малюнку. Відстань між першим і другим зарядами позначаємо r, а між другим і третім – х, який і будемо шукати. Якщо заряд позитивний, то перший заряд його відштовхує і сила F₁ напрямлена вправо, а другий притягує, і сила F₂ напрямлена вліво. Якщо сили напрямлені в різні сторони і за модулем будуть рівними, тоді вони урівноважуються. За законом Кулона перша сила дорівнює F₁ = kq₁q₃/(r + x)², а друга 

F₂ = kq₂q₃/x². За умовою задачі вони урівноважені, тобто

kq₁q₃/(r + x)² = kq₂q₃/x². Скорочуємо вираз, отримуємо: 

q₁/(r + x)² = q₂/x². Підставимо у вираз відомі величини:

40∙10^-9/(10 + х)² = 10∙10^-9/х², після скорочення отримаємо:

4/(10 + х)² = 1/х², знайдемо корені квадратні з обох частин виразу:

2/(10 + х) =1/х, звідки 2х = 10 + х, тоді х = 10 (см).

 Задача № 6

Два заряди по 25 нКл кожен розташовані на відстані 24 см один від одного. З якою силою діють обидва заряди на заряд 2 нКл, розташованій у точці, віддаленій на 15 см від кожного з зарядів, якщо заряди:1) однойменні? 2) різнойменні?

Розв’язування

Дано: q₁ = q₂ = 25∙10^-9 Кл; r₁ = 24∙10^-2 м; q₃ = 2∙10^-9 Кл; r₂ = 15∙10^-2 м. Знайти: F -?

1). Якщо третій заряд рівновіддалений від інших двох на 15 см, то усі три заряди утворюють рівнобедрений трикутник з бічними сторонами 15 см і основою 24 см. Зробимо малюнок, позначимо сили, що діють на третій заряд з боку інших двох, враховуючи, що однойменні заряди відштовхуються, та знайдемо рівнодійну двох сил.

За законом Кулона F₁ = kq₁q₃/r₂² та F₂ = kq₂q₃/r₂², але q₁ = q₂, тоді F₁ = F₂. Рівнодійну шукаємо за правилом паралелограма, але F₁ = F₂, протилежні сторони паралелограма рівні, тобто ми отримаємо паралелограм з рівними сторонами. Такий паралелограм називається – ромб. Ми знаємо властивості діагоналей ромба: діагоналі перетинаються під прямим кутом, є бісектрисами і в точці перетину діляться навпіл. Для того, щоб знайти рівнодійну F, яка є великою діагоналлю, ми можемо знайти її половину і помножити на два. Половина діагоналі з прямокутного трикутника (прилеглий катет) дорівнює добутку гіпотенузи F₂ на cos виділеного кута α, який ми не знаємо. Сos кута можна знайти з трикутника, який утворюють заряди. На малюнку позначені гіпотенуза 15 см та протилежний катет 12 см (24:2 = 12). За теоремою Піфагора обчислимо прилеглий катет 

√(15² – 12²) = 9 (см), тоді cosα = 9/15. Тоді

F = 2F₂cosα = 2(kq₂q₃/r₂²)cosα. Поставимо значення величин, отримаємо:

F = 2(9∙10⁹∙25∙10^-9∙2∙10^-9/225∙10^-4)∙(9/15) = 2,4∙10^-5 Н.

2). Якщо другий заряд негативний, то він буде притягувати третій заряд, тобто малюнок зміниться.

Для того, щоб знайти рівнодійну F, яка є в цьому малюнку малою діагоналлю, ми можемо знайти її половину і помножити на два. Половина діагоналі з прямокутного трикутника (протилежний катет) дорівнює добутку гіпотенузи F₁ на sin виділеного кута α, який ми не знаємо. Sin кута можна знайти з трикутника, який утворюють заряди: sinα = 12/15. Тоді

F = 2F₁sinα = 2(kq₁q₃/r₂²)sinα. Поставимо значення величин, отримаємо:

F = 2(9∙10⁹∙25∙10^-9∙2∙10^-9/225∙10^-4)∙(12/15) = 3,2∙10^-5 Н.