Понеділок, 18.04.2022 9 клас

 

9 клас

Рух тіла по похилій площині

Задачі не лише прочитати, але й розібратися з їх розв’язуванням та переписати у робочий зошит!!!!

 

Задача № 1

Вантаж масою 30 кг знаходиться на похилій площині з кутом нахилу 20⁰. Яку силу треба прикласти до вантажу вздовж схилу, щоб: а) витягти вантаж нагору; б) стягнути вантаж униз? Коефіцієнт тертя вантажу об площину дорівнює 0,4.

Розв’язування

Дано: m = 30 кг; α = 20⁰; μ  = 0,4. Знайти: F -?

Задача а)

1). Зробимо малюнок тіла на похилій площині. У тіла, що піднімається або спускається з похилої площини, змінюються дві координати: х та у, тому через тіло проводять дав осі руху.

2). Проведемо через тіло осі руху: вісь Х паралельно до площини, вісь У – перпендикулярно до осі Х, та позначимо напрямок прискорення. Вісь Х напрямлена у бік руху тіла.

3). Позначимо сили, що діють на тіло: сила тяжіння напрямлена вертикально вниз; сила тяги -  вздовж осі Х у бік руху тіла (у нашому випадку вздовж Х вгору); сила тертя – вздовж осі Х проти руху (вниз); сила реакції опори – завжди перпендикулярна опорі і напрямлена від неї. Сили тяги, тертя і реакції опори напрямлені вздовж осей, тому дуже легко можна перейти до їх проекцій; сила тяжіння напрямлена під кутом і до осі Х, і до осі У, тому розкладаємо цю силу на складові вздовж осей. З кінця вектору сили тяжіння опускаємо перпендикуляри на осі Х та У. Складові сили тяжіння прикладені до тіла (починаються з центра тіла) і закінчуються перпендикулярами (дивись малюнок). На малюнку позначено однакові кути α.

4). Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі для кожної осі руху.

        →    →   →     →

ОХ: ma = F + Fт + mg_x

        →    →    →

OУ: ma = N + mg_у

 

5). Від векторів перейдемо до їх проекцій на задані осі руху:

ОХ: ma_х = F - Fт - mg_x

OУ: ma_у = N - mg_у

6). Спочатку розв’яжемо рівняння відносно осі У, враховуючи, що вздовж осі У тіло не рухається, тому завжди прискорення а_у дорівнює нулю. Добуток будь-якого числа на нуль теж дорівнює нулю, тоді:

0 = N - mg_у, звідки N = mg_у, де з прямокутного трикутника (дивись малюнок) mg_у = mg∙Cosα, тоді N = mg∙Cosα. Тепер ми можемо виразити ситу тертя 

F_т = μN = μ mg∙Cosα. Рівняння відносно осі У розв’язується однаково для будь-якої задачі на похилу площину, цей розв’язок можна переписувати від задачі до задачі. Як тільки ми визначили силу тертя, переходимо до розв’язування задачі відносно осі Х. Проекція прискорення на вісь Х дорівнює модулю прискорення, з яким рухається тіло:

ma = F - Fт - mg_x

Але у нашій задачі ми витягуємо тіло без прискорення (умова), тобто 

а = 0. Проекція сили тяжіння на вісь Х визначається з прямокутного трикутника (дивись малюнок):

mg_x = mg∙Sinα

Підставимо значення прискорення, сили тертя і проекції сили тяжіння на вісь Х у рівняння, отримаємо:

0 = F - μ mg∙Cosα - mg∙Sinα, звідки

F = μ mg∙Cosα + mg∙Sinα

Винесемо у рівнянні за дужки спільний множник mg, отримаємо:

F = mg∙(μCosα + Sinα)

Підставимо значення величин: F = 30∙10∙(0,4∙Cos 20 + Sin 20) = 215 Н.

 Задача б)

1). Зробимо малюнок тіла на похилій площині. У тіла, що піднімається або спускається з похилої площини, змінюються дві координати: х та у, тому через тіло проводять дав осі руху.

2). Проведемо через тіло осі руху: вісь Х паралельно до площини, вісь У – перпендикулярно до осі Х, та позначимо напрямок прискорення. Вісь Х напрямлена у бік руху тіла.

3). Позначимо сили, що діють на тіло: сила тяжіння напрямлена вертикально вниз; сила тяги -  вздовж осі Х у бік руху тіла (у нашому випадку вздовж Х вниз); сила тертя – вздовж осі Х проти руху (вгору); сила реакції опори – завжди перпендикулярна опорі і напрямлена від неї. Сили тяги, тертя і реакції опори напрямлені вздовж осей, тому дуже легко можна перейти до їх проекцій; сила тяжіння напрямлена під кутом і до осі Х, і до осі У, тому розкладаємо цю силу на складові вздовж осей. З кінця вектору сили тяжіння опускаємо перпендикуляри на осі Х та У. Складові сили тяжіння прикладені до тіла (починаються з центра тіла) і закінчуються перпендикулярами (дивись малюнок). На малюнку позначено однакові кути α.

4). Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі для кожної осі руху.

        →    →   →     →

ОХ: ma = F + Fт + mg_x

        →    →    →

OУ: ma = N + mg_у

 5). Від векторів перейдемо до їх проекцій на задані осі руху:

ОХ: ma_х = F - Fт + mg_x

OУ: ma_у = N - mg_у

6). Спочатку розв’яжемо рівняння відносно осі У, враховуючи, що вздовж осі У тіло не рухається, тому завжди прискорення а_у дорівнює нулю. Добуток будь-якого числа на нуль теж дорівнює нулю, тоді:

0 = N - mg_у, звідки N = mg_у, де з прямокутного трикутника (дивись малюнок) mg_у = mg∙Cosα, тоді N = mg∙Cosα. Тепер ми можемо виразити ситу тертя 

F_т = μN = μ mg∙Cosα. Рівняння відносно осі У розв’язується однаково для будь-якої задачі на похилу площину, цей розв’язок можна переписувати від задачі до задачі. Як тільки ми визначили силу тертя, переходимо до розв’язування задачі відносно осі Х. Проекція прискорення на вісь Х дорівнює модулю прискорення, з яким рухається тіло:

ma = F - Fт + mg_x

Але у нашій задачі ми стягуємо тіло без прискорення (умова), тобто 

а = 0. Проекція сили тяжіння на вісь Х визначається з прямокутного трикутника (дивись малюнок):

mg_x = mg∙Sinα

Підставимо значення прискорення, сили тертя і проекції сили тяжіння на вісь Х у рівняння, отримаємо:

0 = F - μ mg∙Cosα + mg∙Sinα, звідки

F = μ mg∙Cosα - mg∙Sinα

Винесемо у рівнянні за дужки спільний множник mg, отримаємо:

F = mg∙(μCosα - Sinα)

Підставимо значення величин: F = 30∙10∙(0,4∙Cos 20 - Sin 20) = 10 Н.

 Задача № 2

Автомобіль масою 4 т рухається вгору з прискоренням 0,2 м/с². Знайти силу тяги, якщо ухил дорівнює 0,02 і коефіцієнт опору 0,04.

Розв’язування

Дано: m = 4000 кг; a = 0,2 м/с²; sinα = 0,02; cosα = 1; μ = 0,04. Знайти: F -?

Ухил дорівнює синусу кута нахилу площини до горизонту, тобто 

Sinα = 0,02. Якщо ухил малий, менший за 0,1, то Cosα можна вважати приблизно дорівнюючим одиниці, тобто Cosα = 1.

1). Зробимо малюнок тіла на похилій площині. У тіла, що піднімається або спускається з похилої площини, змінюються дві координати: х та у, тому через тіло проводять дав осі руху.

2). Проведемо через тіло осі руху: вісь Х паралельно до площини, вісь У – перпендикулярно до осі Х, та позначимо напрямок прискорення. Вісь Х напрямлена у бік руху тіла.

3). Позначимо сили, що діють на тіло: сила тяжіння напрямлена вертикально вниз; сила тяги -  вздовж осі Х у бік руху тіла (у нашому випадку вздовж Х вгору); сила тертя – вздовж осі Х проти руху (вниз); сила реакції опори – завжди перпендикулярна опорі і напрямлена від неї. Сили тяги, тертя і реакції опори напрямлені вздовж осей, тому дуже легко можна перейти до їх проекцій; сила тяжіння напрямлена під кутом і до осі Х, і до осі У, тому розкладаємо цю силу на складові вздовж осей. З кінця вектору сили тяжіння опускаємо перпендикуляри на осі Х та У. Складові сили тяжіння прикладені до тіла (починаються з центра тіла) і закінчуються перпендикулярами (дивись малюнок). На малюнку позначено однакові кути α.

4). Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі для кожної осі руху.

        →    →   →     →

ОХ: ma = F + Fт + mg_x

        →    →    →

OУ: ma = N + mg_у

 

5). Від векторів перейдемо до їх проекцій на задані осі руху:

ОХ: ma_х = F - Fт - mg_x

OУ: ma_у = N - mg_у

6). Спочатку розв’яжемо рівняння відносно осі У, враховуючи, що вздовж осі У тіло не рухається, тому завжди прискорення а_у дорівнює нулю. Добуток будь-якого числа на нуль теж дорівнює нулю, тоді:

0 = N - mg_у, звідки N = mg_у, де з прямокутного трикутника (дивись малюнок) mg_у = mg∙Cosα, тоді N = mg∙Cosα. Тепер ми можемо виразити ситу тертя 

F_т = μN = μ mg∙Cosα. Рівняння відносно осі У розв’язується однаково для будь-якої задачі на похилу площину, цей розв’язок можна переписувати від задачі до задачі. Як тільки ми визначили силу тертя, переходимо до розв’язування задачі відносно осі Х. Проекція прискорення на вісь Х дорівнює модулю прискорення, з яким рухається тіло:

ma = F - Fт - mg_x

Проекція сили тяжіння на вісь Х визначається з прямокутного трикутника (дивись малюнок):

mg_x = mg∙Sinα

Підставимо значення прискорення, сили тертя і проекції сили тяжіння на вісь Х у рівняння, отримаємо:

ma = F - μ mg∙Cosα - mg∙Sinα, звідки

F = μ mg∙Cosα + mg∙Sinα + ma

Винесемо у рівнянні за дужки спільний множник m, отримаємо:

F = m∙(μgCosα + gSinα + a)

Підставимо значення величин: F = 4∙10³∙(0,04∙10∙1 + 10∙0,02 + 0,2) = 3,2∙10³ Н = 3,2 кН.

 Задача № 3

З яким прискорення ковзає брусок по похилій площині з кутом нахилу 30⁰ при коефіцієнті тертя 0,2?

Розв’язування

Дано: α = 30⁰; μ = 0,2. Знайти: a -?

1). Зробимо малюнок тіла на похилій площині. У тіла, що піднімається або спускається з похилої площини, змінюються дві координати: х та у, тому через тіло проводять дав осі руху.

2). Проведемо через тіло осі руху: вісь Х паралельно до площини, вісь У – перпендикулярно до осі Х, та позначимо напрямок прискорення. Вісь Х напрямлена у бік руху тіла.\

3). Позначимо сили, що діють на тіло: сила тяжіння напрямлена вертикально вниз; сили тяги немає, бо брусок сам зісковзує з площини; сила тертя – вздовж осі Х проти руху (вгору); сила реакції опори – завжди перпендикулярна опорі і напрямлена від неї. Сили тертя і реакції опори напрямлені вздовж осей, тому дуже легко можна перейти до їх проекцій; сила тяжіння напрямлена під кутом і до осі Х, і до осі У, тому розкладаємо цю силу на складові вздовж осей. З кінця вектору сили тяжіння опускаємо перпендикуляри на осі Х та У. Складові сили тяжіння прикладені до тіла (починаються з центра тіла) і закінчуються перпендикулярами (дивись малюнок). На малюнку позначено однакові кути α.

4). Записуємо другий закон Ньютона у векторній формі для кожної осі руху.

        →       →     →

ОХ: ma =  Fт + mg_x

        →    →    →

OУ: ma = N + mg_у

 

5). Від векторів перейдемо до їх проекцій на задані осі руху:

ОХ: ma_х =  - Fт + mg_x

OУ: ma_у = N - mg_у

6). Спочатку розв’яжемо рівняння відносно осі У, враховуючи, що вздовж осі У тіло не рухається, тому завжди прискорення а_у дорівнює нулю. Добуток будь-якого числа на нуль теж дорівнює нулю, тоді:

0 = N - mg_у, звідки N = mg_у, де з прямокутного трикутника (дивись малюнок) mg_у = mg∙Cosα, тоді N = mg∙Cosα. Тепер ми можемо виразити ситу тертя 

F_т = μN = μ mg∙Cosα. Рівняння відносно осі У розв’язується однаково для будь-якої задачі на похилу площину, цей розв’язок можна переписувати від задачі до задачі. Як тільки ми визначили силу тертя, переходимо до розв’язування задачі відносно осі Х. Проекція прискорення на вісь Х дорівнює модулю прискорення, з яким рухається тіло:

ma = - Fт + mg_x

Проекція сили тяжіння на вісь Х визначається з прямокутного трикутника (дивись малюнок):

mg_x = mg∙Sinα

Підставимо значення прискорення, сили тертя і проекції сили тяжіння на вісь Х у рівняння, отримаємо:

ma = mg∙Sinα - μ mg∙Cosα 

Скоротимо обидві частини рівняння на масу та винесемо спільний множник g за дужки, отримаємо:

a = g∙(Sinα - μ∙Cosα)

Підставимо значення величин: а = 10∙(0,5 – 0,2∙0,866) = 3,3 м/с².

Домашнє завдання

Розв’язати задачі

Задачі сфотографувати та відправити за адресою omichka@ukr.net та omichkanatali@gmail.com

Задача № 1

На похилій площині завдовжки 13 м і заввишки 5 м лежить вантаж масою 26 кг. Коефіцієнт тертя дорівнює 0,5. Яку силу треба прикласти до вантажу вздовж схилу, щоб: а) витягти вантаж нагору; б) стягнути вантаж униз?

Розв’язування

ЗАДАЧА РОЗВЯЗУЄТЬСЯ, ЯК І ЗАДАЧА № 1 З ПОЯСНЕННЯ! Єдине, чим відрізняється ця задача – у ній не вказано кут нахилу похилої площини, але синус та косинус можна знайти за визначенням з прямокутного трикутника, у якого відомі катет і гіпотенуза.

Задача № 2

 

Потяг масою 3000 т рухається вниз під ухил, що дорівнює 0,003. Коефіцієнт опору руху дорівнює 0,008. З яким прискоренням рухається потяг. Якщо сила тяги локомотива дорівнює 300 кН?