П'ятниця, 29.04.2022. 11 клас

 

Розв’язування задач

Вправа № 40

Задача № 3

Період піврозпаду Радію-226 становить 1600 років. Скільки ядер цього радіонукліда розпадається за 4800 років, якщо початкова кількість ядер Радію у зразку 10⁹?

Розв’язування

Дано: N₀ = 10⁹; T = 1600 р; t = 4800 р. Знайти: (N₀ – N) -?

 За основним законом радіоактивного розпаду N = N₀/2^t/T, де N – це кількість радіоактивних ізотопів, що залишилися. Для того, щоб знайти, скільки ізотопів розпалися, потрібно від початкової кількості відняти кількість тих ізотопів, що залишилися, тобто знайти (N₀ – N). Підставимо у цю різницю вираз для N, отримаємо:

N₀ – N = N₀ – N₀/2^t/T = N₀(1 – 1/2^t/T). Підставимо значення величин, отримаємо:

N₀ – N = 10⁹(1 – 1/2³) = 10⁹∙(1 – 1/8) = 0,875∙10⁹ = 8,75∙10⁸.

Задача № 4

Період піврозпаду Цезію-137 становить 30 років. Скільки відсотків ядер цього радіонукліда розпадається за 120 років?

Розв’язування

Дано: T = 30 р; t = 120 р. Знайти: (N₀ – N)/N₀ -?

(N₀ – N) – кількість ядер, що розпалися, щоб знайти їх частку (відсоток) від початкової кількості, потрібно вираз поділити на початкову кількість ядер, тобто (N₀ – N)/N₀. У цей вираз поставимо значення N із закону радіоактивного розпаду:

(N₀ – N)/N₀ = (N₀ – N₀/2^t/T)/N₀ = [N₀(1 – 1/2^t/T)]/N₀ = 1 – 1/2^t/T. Підставимо значення величин, отримаємо:

(N₀ – N)/N₀ = 1- 1/2⁴ = 1 – 1/16 = 15/16 = 0,9375 = 93,75 %.

Задача № 5

В організмі людини вміст Калію становить приблизно 0,19 % її маси; радіоактивний нуклід Калію ₁₉⁴⁰K становить 0,012 % загальної кількості Калію. Скільки ядер цього радіонукліда розпадається за 1 секунду в організмі людини масою 100 кг?

Розв’язування

Дано: m = 100 кг; m_K = 0,19%m; m(₁₉⁴⁰K) = 0,012%m_K; 

T = 1,25∙10⁹ р. = 4∙10¹⁶ c.

Знайти: N -?

Спочатку обчислимо масу Калію:

m_K = (0,19%m)/100% = (0,19%∙100 кг)/100% = 0,19 кг = 190 г. Тепер обчислимо масу нукліду Калію ₁₉⁴⁰K:

m(₁₉⁴⁰K) = 0,012%m_K = (0,012%∙0,19 кг)/100% = 2,28∙10^-5 кг = 2,28∙10^-2 г. Кількість ізотопів Калію ₁₉⁴⁰K: N = mN_A/M. Підставимо значення величин, отримаємо:

N = (2,28∙10^-2 г∙6,02∙10²³)/40 = 0,34∙10²¹ = 3,4∙10²⁰. Кількість розпадів за 1 секунду – це активність радіоізотопу, яку можна знайти за формулою:

A = λN, де стала радіоактивного розпаду λ = ln2/T, де Т – період піврозпаду, виражений у секундах. Для того, щоб виразити 1,25 млрд. років у секундах, потрібно 1,25∙10⁹∙365,25∙24∙3600 = 4∙10¹⁶ с. Активність 

A = ln2N/Т. Підставимо значення величин, отримаємо:

А = (ln2∙3,4∙10²⁰)/4∙10¹⁶ = 0,589∙10⁴ = 5,89∙10³ Бк, тобто за 1 секунду розпадається 5,89∙10³ ядер нукліду Калію ₁₉⁴⁰K.

Задача № 1169

Яка частка радіоактивних ядер розпадається за час, що дорівнює половині періоду піврозпаду?

Розв’язування

Дано: t = T/2. Знайти: (N₀ – N)/N₀ -?

(N₀ – N) – кількість ядер, що розпалися, щоб знайти їх частку  від початкової кількості, потрібно вираз поділити на початкову кількість ядер, тобто

(N₀ – N)/N₀. У цей вираз поставимо значення N із закону радіоактивного розпаду:

(N₀ – N)/N₀ = (N₀ – N₀/2^t/T)/N₀ = [N₀(1 – 1/2^t/T)]/N₀ = 1 – 1/2^t/T. Підставимо значення величин, отримаємо:

(N₀ – N)/N₀ = 1- 1/2^Т/2Т = 1 – 1/2^1/2 = 1 – 1/√2 = (√2 – 1)/√2 = 0,4/1,4 = 4/14 =2/7.

Задача № 1170

Активність радіоактивного елемента зменшилася у 4 рази за 8 днів. Визначити період піврозпаду.

Розв’язування

Якщо активність зменшилася у 4 рази, то й кількість атомів теж зменшилася у 4 рази.

Дано: N/N₀ = ¼; t = 8 днів. Знайти: T -?

За основним законом радіоактивного розпаду 

N = N₀/2^t/T. Поділимо ліву і праву частини рівняння на N₀, отримаємо

N/N₀ = 1/2^t/T, але N/N₀ = ¼, тобто

1/2^t/T = ¼ = 1/2². Дроби рівні, чисельники рівні, тому й знаменники теж рівні, тому 2^t/T = 2². Основи рівні, тому показники степеню теж рівні, тобто

t/T = 2, звідки Т = t/2 = 8/2 = 4 дні.

Задача № 6

Який період піврозпаду радіоактивного ізотопу, якщо за 12 годин у середньому розпадається 7500 атомів із 8000 атомів цього ізотопу?

Розв’язування

 N – це кількість радіоактивних ізотопів, що залишилися. Для того, щоб знайти, скільки ізотопів залишилися, потрібно від початкової кількості відняти кількість тих ізотопів, що розпалися, тобто N = 8000 – 7500 = 500.

Дано: t = 12 год; N₀ = 8000; N = 500. Знайти: T -?

За основним законом радіоактивного розпаду N = N₀/2^t/T. Поділимо ліву і праву частини рівняння на N₀, отримаємо N/N₀ = 1/2^t/T. Підставимо значення величин, отримаємо:

500/8000 = 1/2^t/T, тобто 1/2^t/T = 1/16 = 1/2⁴. Дроби рівні, чисельники рівні, тому й знаменники теж рівні, тому 2^t/T = 2⁴. Основи рівні, тому показники степеню теж рівні, тобто

t/T = 4, звідки Т = t/4 = 12/4 = 3 дні.