П'ятниця, 15.04.2022. 10 клас

 

Розв’язування задач на рівняння теплового балансу

Нагадаю формули кількості теплоти:

а) Кількість теплоти нагрівання (охолодження)

Q = cmΔt = cm(t₂ – t₁),

де  Q – кількість теплоти, c- питома теплоємність речовини (таблиця), m – маса речовини, Δt – зміна температури, t₁ – початкова температура, t₂ – кінцева температура;

Q = CΔt = C(T₂ – T₁),

де С – теплоємність тіла, C = cm

б) Кількість теплоти плавлення (кристалізації)

Q = λm  (Q = - λm)

де λ – питома теплота плавлення (таблиця).

в) Кількість теплоти пароутворення (конденсації)

Q = rm  (Q = - rm)

де r – питома теплота пароутворення (таблиця).

г) Кількість теплоти згоряння палива

Q = qm

де q – питома теплота згоряння палива (таблиця).

ДУЖЕ ВАЖЛИВО!!! РІВНЯННЯ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСУ: у теплоізольованій системі сумарна кількість теплоти, якими обмінюються всі тіла системи, дорівнює нулю, тобто

Q₁ + Q₂ + … + Q_n = 0

1.      Для розв’язування задач потрібно розрізняти питому теплоємність і теплоємність.

Питома теплоємність «с» - це кількість теплоти, необхідна для зміни температури речовини масою 1 кг на 1⁰С. Цю величину шукаємо у таблиці. Теплоємність тіла С вимірюється кількістю теплоти, необхідної для підвищення температури на  1⁰С, і дорівнює добутку питомої теплоємності «с» на масу тіла:

С = сm.

2.     Для розв’язування задач потрібно встановити, скільки теплових процесів відбувається у системі, та записати рівняння теплового балансу, потім кожну кількість теплоти розписати за допомогою формули і розв’язати отримане рівняння.

3.     Потрібно розуміти, що температура, виражена в Кельвінах, використовується лише для газів, якщо ж йде мова про інші речовини (рідини, тверді тіла), то використовується температура, виражена в Цельсіях, як для всіх задач з теми «Кількість теплоти. Рівняння теплового балансу».

4.     Питому теплоємність речовини с, питому теплоту плавлення λ, питому теплоту пароутворення r, питому теплоту згоряння палива q шукаємо у таблицях.

 Задача № 1

У калориметр із теплоємністю 63 Дж/К було налите 250 г олії при 12⁰ С. Після опускання в олію мідного тіла масою 500 г при 100⁰ С встановилась загальна температура 33⁰ С. Яка питома теплоємність олії за даними досліду?

Розв’язування

1). Встановлюємо, скільки теплових процесів відбувається у системі (калориметрі): нагрівання калориметра від 12⁰ С до 33⁰ С, нагрівання олії 

від 12⁰ С до 33⁰ С, охолодження мідного тіла від 100⁰ С до 33⁰ С, тобто три процеси, три кількості теплоти.

2). Записуємо рівняння теплового балансу 

(t₁ = 12⁰ С, t₂ = 100⁰ С, t₃ = 33⁰ С):

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0, де

Q₁ - нагрівання калориметра від 12⁰ С до 33⁰ С, Q₁ = С(t₃ – t₁) (кінцева температура калориметра 33⁰ С, початкова - 12⁰ С)

Q₂ - нагрівання олії від 12⁰ С до 33⁰ С, Q₂ = c₁m₁(t₃ – t₁) (кінцева температура олії 33⁰ С, початкова - 12⁰ С), де c₁ – питома теплоємність олії, m₁ – маса олії.

Q₃ – охолодження мідного тіла від 100⁰ С до 33⁰ С, Q₃ = c₂m₂(t₃ – t₂) (кінцева температура мідного тіла 33⁰ С, початкова - 100⁰ С), де c₂ – питома теплоємність міді, c₂ = 380 Дж/кгК, m₁ – маса мідного тіла.

3). Підставляємо формули для кожної кількості теплоти у рівняння теплового балансу, отримаємо:

С(t₃ – t₁) + c₁m₁(t₃ – t₁) + c₂m₂(t₃ – t₂) = 0. З цього рівняння питома теплоємність олії:

c₁ = [ - c₂m₂(t₃ – t₂) - С(t₃ – t₁)]/[m₁(t₃ – t₁)] = 

= [c₂m₂(t₂ – t₃) - С(t₃ – t₁)]/[m₁(t₃ – t₁)]. Підставимо значення величин:

c₁ = (380∙0,5∙67 - 63∙21)/(0,25∙21) = 2173 Дж/кгК.

Відповідь: c₁ = 2173 Дж/кгК

 Задача № 2

Для приготування ванни місткістю 200 л змішали холодну воду при 10⁰ С з гарячою при 60⁰ С. Які об’єми холодної і гарячої води треба взяти, щоб температура встановилась 40⁰ С?

Розв’язування

1). Встановлюємо, скільки теплових процесів відбувається у системі (ванні): холодна вода нагрівається  від 10⁰ С до 40⁰ С, гаряча вода охолоджується від

60⁰ С до 40⁰ С, тобто два процеси, дві кількості теплоти.

2). Записуємо рівняння теплового балансу 

(t₁ = 10⁰ С, t₂ = 60⁰ С, t₃ = 40⁰ С):

Q₁ + Q₂ = 0, де

Q₁ - нагрівання холодної води від 10⁰ С до 40⁰ С, 

Q₁ = cm₁(t₃ – t₁) (кінцева температура води 40⁰ С, початкова - 10⁰ С), де m₁ – маса холодної води.

Q₂ – охолодження гарячої води від 60⁰ С до 40⁰ С, 

Q₂ = cm₂(t₃ – t₁) (кінцева температура гарячої води 40⁰ С, початкова - 60⁰ С), де c – питома теплоємність води, m₂ – маса гарячої води.

3). Підставляємо формули для кожної кількості теплоти у рівняння теплового балансу, отримаємо:

 cm₁(t₃ – t₁) + cm₂(t₃ – t₂) = 0. (1)

У нас два невідомих, для того, щоб розв’язати рівняння, потрібне ще друге рівняння. Його встановимо, враховуючи залежність тільки для води: скільки літрів, стільки ж кілограм: якщо до маси холодної води додати масу гарячої води, то отримаємо 200 кг, отже друге рівняння:

m₁ + m₂ = 200 (2)

У першому рівнянні перенесемо другий доданок у праву частину:

cm₁(t₃ – t₁) = - cm₂(t₃ – t₂) або cm₁(t₃ – t₁) = cm₂(t₂ – t₃) (у правій частині поміняли місцями доданки у дужках, щоб «-« змінити на «+»). Підставимо у рівняння відомі величини, скорочуючи питому теплоємність води:

30m₁ = 20m₂ або 3m₁ = 2m₂ (3)

З другого рівняння виражаємо m₁ = 200 - m₂  і підставляємо у рівняння (3):

3(200 - m₂) = 2m₂

Розв’язуємо рівняння, отримуємо 5m₂ = 600, тоді    m₂ = 120 кг, 

m₁ = 200 – 120 = 80 кг, але скільки літрів, стільки ж кілограм, тобто об’єм холодної води – 80 л, а гарячої – 120 л.

Відповідь: об’єм холодної води – 80 л, а гарячої – 120 л.

 Задача № 3

У посудину, яка містить 1,5 кг води при 15⁰ С, впускають 200 г водяної пари при 100⁰ С. Яка загальна температура встановиться після конденсації пари?

Розв’язування

1). Встановлюємо, скільки теплових процесів відбувається у системі (посудині): нагрівання 1,5 кг холодної води від 15⁰ С до невідомої температури, конденсація 200 г пари і перетворення її на воду при температурі 100⁰ С (окріп), охолодження 200 г окропу від 100⁰ С до невідомої температури, тобто три процеси, три кількості теплоти.

2). Записуємо рівняння теплового балансу 

(t₁ = 15⁰ С, t₂ = 100⁰ С, t₃ = ?):

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0, де

Q₁ - нагрівання холодної води від 15⁰ С до t₃, Q₁ = cm₁(t₃ – t₁) (кінцева температура у посудині t₃, початкова - 15⁰ С)

Q₂ – конденсація пари Q₂ = - rm₂, де r – питома теплота пароутворення води,

m₂ – маса пари.

Q₃ – охолодження води, що утворилася при конденсації пари, від 100⁰ С до невідомої температури t₃, Q₃ = cm₂(t₃ – t₂) (кінцева температура води t₃, початкова - 100⁰ С), де c – питома теплоємність води.

3). Підставляємо формули для кожної кількості теплоти у рівняння теплового балансу, отримаємо:

cm₁(t₃ – t₁) - rm₂ + cm₂(t₃ – t₂) = 0.

Відкриємо дужки:

cm₁t₃ – cm₁t₁ - rm₂ + cm₂t₃ – cm₂t₂ = 0. Залишаємо доданки, які містять t₃, у лівій частині рівняння, а інші перенесемо у праву частину:

cm₁t₃ + cm₂t₃ = cm₁t₁ + rm₂ + cm₂t_2. У лівій частині винесемо спільний множник сt₃ за дужки:

сt₃(m₁ + m₂) =  cm₁t₁ + rm₂ + cm₂t₂, звідки

t₃ = (cm₁t₁ + rm₂ + cm₂t₂)/(с(m₁ + m₂)), для води с = 4200 Дж/кгК,

r = 2 300 000 Дж/кг

Підставимо значення величин:

t₃ = (4200∙1,5∙15 + 2300000∙0,2 + 4200∙0,2∙100)/(4200∙1,7) = 89,4⁰ С.

Відповідь: 89,4⁰ С.

Задача № 4

Для визначення питомої теплоти плавлення олова в калориметр теплоємністю 100 Дж/К, що містить 330 г води при 7⁰ С, влили 350 г розплавленого олова при температурі тверднення, після чого у калориметрі встановилася температура 32⁰ С. Визначити значення питомої теплоти плавлення олова за даними досліду.

Розв’язування

1). Встановлюємо, скільки теплових процесів відбувається у системі (калориметрі): нагрівання калориметра від 7⁰ С до 32⁰ С, нагрівання води від

7⁰ С до 32⁰ С, кристалізація розплавленого олова при температурі 232⁰ С, охолодження твердого олова від 232⁰ С до 32⁰ С, тобто чотири процеси, чотири  кількості теплоти.

2). Записуємо рівняння теплового балансу (t₁ = 12⁰ С, t₂ = 232⁰ С, t₃ = 32⁰ С):

Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ = 0, де

Q₁ - нагрівання калориметра від 7⁰ С до 32⁰ С, Q₁ = С(t₃ – t₁) (кінцева температура калориметра 32⁰ С, початкова - 7⁰ С)

Q₂ - нагрівання води від 7⁰ С до 32⁰ С, 

Q₂ = c₁m₁(t₃ – t₁) (кінцева температура води 32⁰ С, початкова - 7⁰ С), де c₁ – питома теплоємність води, m₁ – маса води.

Q₃ – теплота, що виділяється при кристалізації олова, 

Q₃ = - λm₂, де m₂ – маса олова, λ – питома теплота кристалізації (плавлення).

Q₄ – охолодження олова від 232⁰ С до 32⁰ С, Q₃ = c₂m₂(t₃ – t₂) (кінцева температура олова 32⁰ С, початкова - 232⁰ С), де c₂ – питома теплоємність олова, c₂ = 230 Дж/кгК, m₂ – маса олова.

3). Підставляємо формули для кожної кількості теплоти у рівняння теплового балансу, отримаємо:

С(t₃ – t₁) + c₁m₁(t₃ – t₁) - λm₂ + c₂m₂(t₃ – t₂) = 0.

Перенесемо доданок - λm₂ з лівої частини рівняння у праву частину:

С(t₃ – t₁) + c₁m₁(t₃ – t₁) + c₂m₂(t₃ – t₂) = λm₂, звідки

λ = [С(t₃ – t₁) + c₁m₁(t₃ – t₁) + c₂m₂(t₃ – t₂)]/ m₂.

Підставимо значення величин:

λ = (100∙25 + 4200∙0,33∙25 - 230∙0,35∙200)/0,35 = 60 143 Дж/кг = 60 кДж/кг.

Відповідь: λ =60 кДж/кг.

 Розв’язування задач на коефіцієнт корисної дії нагрівника

Нагадаю, що ККД нагрівника шукаємо за формулою: η = Q_k/Q, де Q_k – корисна кількість теплоти, Q – загальна кількість теплоти або кількість теплоти згоряння палива.

 Задача № 5

Скільки сталі, взятої при 20⁰ С, можна розплавити в печі з ККД 50%, спалюючи 2 т кам’яного вугілля?

Розв’язування

ККД нагрівника шукаємо за формулою: η = Q_k/Q, (1)

де Q_k – корисна кількість теплоти, Q – загальна кількість теплоти або кількість теплоти згоряння палива.

Корисна кількість теплоти – це кількість теплоти, необхідна для плавлення сталі. Вона складається з двох кількостей теплоти: спочатку сталь потрібно нагріти від t₁ = 20⁰ С до температури плавлення (табличні дані) t₂ = 1400⁰ С, а потім розплавити, тобто

Q_к = cm₁(t₂ – t₁) + λm₁, (2)

де с – питома теплоємність сталі, с = 460 Дж/кгК, λ – питома теплота плавлення, λ = 82 000 Дж/кг, m₁ – маса сталі.

Загальна кількість теплоти - це кількість теплоти згоряння палива:

Q = qm₂, (3)

де q – питома теплота згоряння кам’яного вугілля, q = 29 МДж/кг, m₂ – маса кам’яного вугілля.

Підставимо вирази (2) та (3) у рівняння (1), отримаємо:

η = (cm₁(t₂ – t₁) + λm₁)/ qm₂

У чисельнику винесемо спільний множник m₁ за дужки:

η = [m₁ (c(t₂ – t₁) + λ)]/ qm₂, звідки

m₁ = (η qm₂) / (c(t₂ – t₁) + λ)

Підставимо значення величин, ККД з відсотків переведемо у частки:

m₁ = (0,5∙29 000 000∙2 000) / (460∙1380 + 82 000) = 40 457,6 кг = 40.46 т

Відповідь: m₁ = 40,46 т

Задача № 6

Алюмінієвий чайник масою 400 г, у якому знаходиться 2 кг води при 10⁰ С, поміщають на газовий пальник із ККД 40%. Чому дорівнює потужність пальника, якщо через 10 хв вода закипіла, причому 20 г води википіло?

Розв’язування

 ККД нагрівника шукаємо за формулою: η = Q_k/Q, (1)

де Q_k – корисна кількість теплоти, Q – загальна кількість теплоти або кількість теплоти згоряння палива.

Корисна кількість теплоти – це кількість теплоти, необхідна для нагрівання води. Вона складається з трьох кількостей теплоти: спочатку вся вода масою m₁ нагрілась від t₁ = 10⁰ С до температури кипіння 

t₂ = 100⁰ С, разом з нею нагрівався алюмінієвий чайник масою m₂ 

від t₁ = 10⁰ С до температури t₂ = 100⁰ С, а потім частина води масою m₃ випарувалася, тобто

Q_к = c₁m₁(t₂ – t₁) + c₂m₂(t₂ – t₁) + rm₂, (2)

де с₁ – питома теплоємність води, с₁ = 4200 Дж/кгК, де с₂ – питома теплоємність алюмінію, с₂ = 880 Дж/кгК, r – питома теплота пароутворення, 

r = 2 300 000 Дж/кг. Загальна кількість теплоти - це кількість теплоти згоряння палива, але її можна визначити, як добуток потужності пальника на час роботи, тобто:

Q = Pt (3).

Підставимо вирази (2) і (3) у формулу (1), отримаємо:

η = [cm₁(t₂ – t₁) + c₂m₂(t₂ – t₁) + rm₂] / Pt, звідки

Р = [cm₁(t₂ – t₁) + c₂m₂(t₂ – t₁) + rm₂] / ηt

Підставимо значення величин, час записуємо у секундах t = 600 с, ККД – у частках:

Р = (4200∙2∙90 + 880∙0,4∙90 + 2300000∙0,02) /(0,4∙600) = 3474 Вт = 3,5 кВт

Відповідь: Р = 3,5 кВт