Розв’язування задач на електроємність та енергію конденсатора
1. В електростатиці
потрібно знати ще дві величини:
а) поверхнева густина заряду – це відношення заряду до площі поверхні, по якому він розподілений. Позначається літерою σ. Одиниці вимірювання
[σ] = Кл/м2. Формула:
σ = q/S;
б) Густина енергії – це відношення енергії електричного поля до об’єму простору, в якому знаходиться поле. Позначається літерою w. Одиниці вимірювання
[w] = Дж/м3. Формула:
w = W/V або w = εε0E2/2.
2. Формули, необхідні для розв’язування задач:
а) Загальна формула
електроємності C = q/U
б) Електроємність
плоского конденсатора C = εε0S/d
в) Електроємність
батареї конденсаторів
Паралельне з’єднання C = C1 + C2 + … + Cn
Послідовне з’єднання 1/C = 1/C1 + 1/C2 + … + 1/Cn
г) Енергія
конденсатора W = q2/2C = CU2/2 = qU/2
Площа кожної пластини
плоского конденсатора 401 см2. Заряд пластини 1,42 мкКл. Знайти
напруженість поля між пластинами.
Розв’язування
Дано: S = 401∙10-4 м2; q = 1,42∙10-6 Кл. Знайти: E -?
Загальна формула електроємності C = q/U, електроємність плоского конденсатора C = εε0S/d. Два рівняння, ліві частини рівні, тоді й праві рівні, тобто
q/U = εε0S/d.
Розписуємо напругу через напруженість:
U = Ed, тоді q/Ed = εε0S/d. У знаменниках скорочуємо відстань між
обкладками d: q/E = εε0S, звідки Е
= q/εε0S, де ε – діелектрична проникність діелектрика.
Якщо нічого не сказано про діелектрик, то це означає, що між обкладками –
повітря, тоді ε = 1, тому
Е = q/ε0S. Підставимо значення величин:
Е = 1,42∙10-6/8,85∙10-12∙401∙10-4
= 4∙106 В/м.
Відповідь: Е = 4∙106 В/м.
Задача № 2
Знайти поверхневу
густину заряду на пластинах плоского конденсатора, розділених шаром скла
завтовшки 4 мм, якщо на конденсатор подано напругу 3,8 кВ.
Розв’язування
Дано: d = 4∙10-3 м; U = 3,8∙103 В; ε = 7. Знайти: σ -?
Загальна формула електроємності C = q/U, електроємність плоского конденсатора C = εε0S/d. Два рівняння, ліві частини рівні, тоді й праві рівні, тобто
q/U = εε0S/d.
Поділимо ліву та праву частини рівняння на площу S, отримаємо: q/US = εε0/d, але q/S = σ, тоді σ/U = εε0/d, звідки
σ = εε0U/d. Підставимо значення величин:
σ = (7∙8,85∙10-12∙3,8∙103)/(4∙10-3)
= 59∙10-6 Кл/м2 = 59 мкКл/м2.
Відповідь: σ = 59 мкКл/м2.
При введенні в простір
між пластинами повітряного конденсатора твердого діелектрика напруга на
конденсаторі зменшилася з 400 до 50 В. Яка діелектрична проникність
діелектрика?
Розв’язування
Дано: ε1 = 1; U1 = 400 В; U2 = 50 В; S1 = S2 = S; d1 = d2 = d. Знайти: ε2 -?
Якщо конденсатор заряджають, а потім відключають від джерела, то заряд зберігається сталим. Загальна формула електроємності
C = q/U, електроємність плоского конденсатора C = εε0S/d. Два рівняння, ліві частини рівні, тоді й праві рівні, тобто q/U = εε0S/d,
відки q = εε0SU/d. У конденсатора не змінилися ні площа, ні
відстань між пластинами, тоді
q = ε1ε0SU1/d, але за умовою між обкладками спочатку –
повітря, тоді ε1 = 1, тому спочатку q = ε0SU1/d. Після введення діелектрика
q = ε2ε0SU2/d, але заряд рівний, тому:
ε2ε0SU2/d = ε0SU1/d. Проводимо скорочення:
ε2U2 = U1, звідки ε2 = U1/U2.
Підставимо значення величин:
ε2 = 400/50 = 8.
Відповідь: ε2 = 8.
Площа кожної пластини
конденсатора дорівнює 520 см2. На якій відстані одну від одної треба
розташувати пластини в повітрі, щоб ємність конденсатора дорівнювала 46 пФ?
Розв’язування
Дано: S = 520∙10-4 м2; C = 46∙10-12 Ф. Знайти: d -?
Електроємність
плоского конденсатора C = εε0S/d, за умовою задачі між обкладками конденсатора
– повітря, тоді ε = 1, тому C = ε0S/d, звідки
d = ε0S/C.
Підставимо значення величин:
d = (8,85∙10-12∙520∙10-4)/(46∙10-12)
= 100∙10-4 м = 10-2 м = 1 см.
Відповідь: d = 1
см.
Плоский конденсатор
складається з двох пластин площею 50 см2 кожна. Між пластинами
знаходиться шар скла. Який найбільший заряд можна нагромадити на цьому
конденсаторі, якщо при напруженості поля 10 МВ/м у склі відбувається пробій
конденсатора?
Розв’язування
Дано: S = 50∙10-4 м2; ε = 7; E = 107 В/м. Знайти: q -?
Загальна формула електроємності C = q/U, електроємність плоского конденсатора C = εε0S/d. Два рівняння, ліві частини рівні, тоді й праві рівні, тобто
q/U = εε0S/d.
Розписуємо напругу через напруженість:
U = Ed, тоді
q/Ed = εε0S/d. У знаменниках скорочуємо відстань між
обкладками d:
q/E = εε0S, звідки
q = εε0SЕ. Підставимо значення величин:
q = 7∙8,85∙10-12∙50∙10-4∙107
= 3,1∙10-6 Кл = 3,1 мкКл.
Відповідь: q = 3,1 мкКл.
Площа кожної з пластин
плоского конденсатора 200 см2, а відстань між ними 1 см. Яка енергія
поля, якщо напруженість поля 500 кВ/м?
Розв’язування
Дано: S = 200∙10-4 = 2∙10-2 м2; d = 10-2 м; E = 5∙105 В/м. Знайти: W -?
Енергія конденсатора
або електричного поля W = CU2/2, де C = εε0S/d,
U = Ed, тоді W = εε0SЕ2d/2. Підставимо значення величин, враховуючи,
що за умовою задачі між обкладками конденсатора – повітря, тоді ε = 1:
W = 8,85∙10-12∙200∙10-4∙25∙1010∙10-2/2
= 220∙10-6 Дж = 220 мкДж.
Відповідь: W = 220 мкДж.
Відстань між
пластинами плоского конденсатора з діелектриком із паперу, просоченого
парафіном, дорівнює 2 мм, а напруга між пластинами 200 В. Знайти густину
енергії поля.
Розв’язування
Дано: ε = 2,2; d = 2∙10-3 м; U = 2∙102 В. Знайти: w -?
Густину енергії
визначають за формулою w = εε0E2/2, де Е = U/d, тоді
w = εε0U2/2d2. Підставимо значення величин:
w = (2,2∙8,85∙10-12∙4∙104)/(2∙4∙10-6)
= 9,7∙10-2 Дж/м3 = 97∙10-3 Дж/м3 =
= 97 мДж/м3
Відповідь: w = 97
мДж/м3
Немає коментарів:
Дописати коментар