П'ятниця, 13.05.2022. 9 клас

 

Розв’язування задач

Вправа № 38

Задача № 1

Вантаж масою 40 кг скинули з літака. Після того як на висоті 400 м швидкість руху вантажу досягла 20 м/с, він почав рухатися рівномірно. Визначте: 1) повну механічну енергію вантажу на висоті 400 м; 2) повну механічну енергію вантажу в момент приземлення; 3) енергію, на яку перетворилася частина механічної енергії вантажу.

Розв’язування

Дано: m = 40 кг; h₀ = 400 м; V₀ = V = 20 м/с; h = 0. Знайти: E₀ -? E -? Q -?

1). Початкова повна механічна енергія – сума кінетичної та потенціальної енергій тіла або систем тіл: 

Е₀ = Е_к0 + Е_п0 = mV₀²/2 + mgh₀. Підставимо значення величин, отримаємо: 

Е₀ = (40∙400)/2 + 40∙10∙400 = 168000 Дж.

2). Кінцева повна механічна енергія – сума кінетичної та потенціальної енергій тіла або систем тіл: Е = Е_к + Е_п, але кінцева потенціальна енергія дорівнює нулю, бо висота тіла дорівнює нулю (тіло на поверхні землі), тоді

 Е  = mV²/2.  Підставимо значення величин, отримаємо: 

Е = (40∙400)/2 = 8000 Дж.

3). Якщо немає сил тертя, то повна механічна енергія зберігається, якщо ж тертя існує, то частина механічної енергії перетворюється на внутрішню, перетворюється у тепло. Для того, щоб знайти енергію, на яку перетворилася частина механічної енергії вантажу, потрібно від більшої енергії відняти меншу, тобто Q = E₀ – E. Підставимо значення величин, отримаємо:

 Q = 168000 Дж – 8000 Дж = 160000 Дж.

 Задача № 2

Кульку кинули горизонтально з висоти 4 м зі швидкістю 8 м/с. Визначте швидкість руху кульки в момент падіння. Розв’яжіть задачу двома способами: 1) розглянувши рух кульки як рух тіла, кинутого горизонтально; 2) скориставшись законом збереження механічної енергії. Який спосіб у даному випадку зручніший?

Розв’язування

Дано: h₀ = 4м; V₀ = 8 м/с; h = 0. Знайти: V -?

1). Використаємо формулу для горизонтального руху (але її ще потрібно вспомнити) V = √(V₀² + 2gh₀). Підставимо значення величин, отримаємо:

V = √(64 + 80) = √144 = 12 м/с.

2). За законом збереження енергії 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п, але кінцева потенціальна енергія дорівнює нулю, тобто 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к. Підставимо у формулу вирази для енергій 

mgh₀ + mV₀²/2 = mV²/2. Скоротимо вираз на масу та помножимо кожен з доданків на два, отримаємо: 2gh₀ + V₀² = V², звідки 

V = √(V₀² + 2gh₀) = 12 м/с.

Задача № 3

Пластилінова кулька 1 масою 20 г і втричі більша за масою кулька 2 підвішені на нитках. Кульку 1 відхилили від положення рівноваги на висоту 20 см і відпустили. Кулька 1 зіштовхнулася з кулькою 2 і прилипла до неї (рис. 1). Визначте: 1) швидкість руху кульки 1 до зіткнення; 2) швидкість руху кульок після зіткнення; 3) максимальну висоту, на яку піднімуться кульки після зіткнення.

Розв’язування

Дано: m₁ = 0,02 кг; m₂ = 0,06 кг; h₀ = 0,2 м; V₀₁ =0; V₀₂ = 0; h₁ = 0.

Знайти: V₁ -? V -? h -?

1). Нехай рівень другої кульки – це нульовий рівень потенціальної енергії для обох кульок. Записуємо закон збереження енергії 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п для першої кульки, врахувавши, що початкова кінетична енергія та кінцева потенціальна дорівнюють нулю, тобто 

Е_п0 = Е_к. Підставимо у формулу вирази для енергій 

mgh₀ = mV₁²/2, скоротимо вираз на масу та помножимо кожен з доданків на два, отримаємо: 

2gh₀ = V₁², звідки V₁ = √(2gh₀) = √0,4 = 0,63 м/с.

2). Швидкість руху кульок після зіткнення знайдемо з закону збереження імпульсу: m₁V₁ = (m₁ + m₂)V, звідки 

V = m₁V₁/(m₁ + m₂). Підставимо значення величин, отримаємо: 

V = (0,02∙0,63)/0,08 = 0,16 м/с.

3). Нехай рівень другої кульки – це нульовий рівень потенціальної енергії для обох кульок. Записуємо закон збереження енергії 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п для обох кульок, врахувавши, що початкова потенціальна енергія та кінцева кінетична дорівнюють нулю, тобто 

Е_к = Е_п. Підставимо у формулу вирази для енергій

(m₁ + m₂)V²/2 = (m₁ + m₂)gh. Скоротимо вираз на масу та помножимо кожен з доданків на два, отримаємо: 

V² = 2gh, звідки h = V²/2g. Підставимо значення величин, отримаємо:

h = (0,16)²/20 = 1,28∙10^-3 м = 1,28 мм.

Задача № 4

Кулька масою 10 г вилітає з пружинного пістолета, влучає в центр підвішеного на нитках пластилінового бруска масою 30 г і прилипає до нього. На яку висоту підніметься брусок, якщо перед пострілом пружина була стиснута на 4 см, а жорсткість пружини — 256 Н/м?

Розв’язування

Дано: m₁ = 0,01 кг; m₂ = 0,03 кг; x = 4∙10^-2 м; k = 256 Н/м. Знайти: h -?

Записуємо закон збереження енергії 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п для першої кульки, врахувавши, що початкова кінетична енергія та кінцева потенціальна дорівнюють нулю, тобто 

Е_п0 = Е_к. Підставимо у формулу вирази для енергій

kx²/2 = mV₁²/2, звідки V₁ = √(kx²)/m. Підставимо значення величин, отримаємо:

V₁ = √((256∙16∙10^-4)/0,01) = 6,4 м/с.

Швидкість руху кульок після зіткнення знайдемо з закону збереження імпульсу: m₁V₁ = (m₁ + m₂)V, звідки 

V = m₁V₁/(m₁ + m₂). Підставимо значення величин, отримаємо: 

V = (0,01∙6,4)/0,04 = 1,6 м/с.

Нехай рівень другої кульки – це нульовий рівень потенціальної енергії для обох кульок. Записуємо закон збереження енергії 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п для обох кульок, врахувавши, що початкова потенціальна енергія та кінцева кінетична дорівнюють нулю, тобто 

Е_к = Е_п. Підставимо у формулу вирази для енергій

(m₁ + m₂)V²/2 = (m₁ + m₂)gh. Скоротимо вираз на масу та помножимо кожен з доданків на два, отримаємо: 

V² = 2gh, звідки h = V²/2g. Підставимо значення величин, отримаємо:

h = (1,6)²/20 = 0,128 м = 12,8 см.

Задача № 5

З якою швидкістю потрібно кинути вниз м’яч із висоти 1 м, щоб після пружного удару об площадку м’яч «підстрибнув» на висоту 4 м?

Розв’язування

Дано: h₀ = 1 м; h = 4 м; V = 0. Знайти: V₀ -?

За законом збереження енергії Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п, але кінцева кінетична енергія дорівнює нулю, тобто Е_к0 + Е_п0 = Е_п. Підставимо у формулу вирази для енергій mgh₀ + mV₀²/2 = mgh. Скоротимо вираз на масу та помножимо кожен з доданків на два, отримаємо:

2gh₀ + V₀² = 2gh, звідки V₀ = √(2gh – 2gh₀) = √(2g(h – h₀)). Підставимо значення величин, отримаємо:

V₀ = √(20(4 – 1)) = √60 = 7,75 м/с.

Задача № 6

Якої швидкості набуває куля масою 50 г, що вилітає горизонтально з пружинного пістолета, якщо перед пострілом пружина жорсткістю 500 Н/м стиснута на 3 см?

Розв’язування

Дано: m = 0,05 кг; k = 500 Н/м; x = 3∙10^-2 м. Знайти: V -?

Записуємо закон збереження енергії 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п для кулі, врахувавши, що початкова кінетична енергія та кінцева потенціальна дорівнюють нулю, тобто 

Е_п0 = Е_к. Підставимо у формулу вирази для енергій

kx²/2 = mV²/2, звідки V = √(kx²)/m. Підставимо значення величин, отримаємо:

V = √((500∙9∙10^-4)/0,05) = 3 м/с.