Четвер, 12.05.2022. 9 клас

 

9 клас

Механічна енергія. Закон збереження механічної енергії

1. Енергія (від грецької «діяльність») — це фізична величина, яка є загальною мірою руху та взаємодії всіх видів матерії.

Енергію позначають символом E (або W). Одиниця енергії в СІ — джоуль:

[Е]  =  1 Н∙м = 1 Дж.

У механіці ми маємо справу з механічною енергією.

2. Механічна енергія — це фізична величина, яка є мірою руху та взаємодії тіл і характеризує здатність тіл виконувати механічну роботу.

3. Повна механічна енергія – сума кінетичної та потенціальної енергій тіла або систем тіл.

Е = Е_к + Е_п

 

ВИДИ МЕХАНІЧНОЇ ЕНРГІЇ
Кінетична енергія Ек –енергія, зумовлена рухом тіла	Потенціальна енергія Еп – енергія, зумовлена взаємодією тіл або частин тіла
Ек = mV2/2 m – маса тіла V – модуль швидкості тіла	Еп піднятого тіла	Еп деформованого тіла
	Еп = mgh m – маса тіла h – висота відносно нульового рівня	Еп = kx2/2 k – жорсткість пружини x – видовження (деформація)

 

4. Закон збереження енергії – енергія не виникає і не зникає, вона лише перетворюється з одного виду в інший, або передається від одного тіла до іншого.

5. Закон збереження повної механічної енергії – у замкненій системі тіл, що взаємодіють із силами тяжіння і пружності, повна механічна енергія залишається сталою.

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п, 

де  Е_к0 – початкова кінетична енергія, Е_п0 – початкова потенціальна енергія, 

Е_к – кінцева кінетична енергія, Е_п – кінцева потенціальна енергія.

Розв’язування задач на застосування закону збереження механічної енергії та визначення механічної роботи.

Коли ми записуємо формулу закону, обов’язково визначаємо, чи не дорівнює нулю якійсь з доданків. Якщо дорівнює, то такий доданок ми не враховуємо, тоді формула стає простішою. Далі замість символу енергії записуємо для кожного доданку, що залишився, формулу цієї енергії та розв’язуємо отримане рівняння.

Задача № 1

Камінь кинутий вертикально вгору зі швидкістю V₀ = 10 м/с. На який висоті кінетична енергія каменю дорівнює потенціальній енергії?

Розв’язування

Дано: V₀ = 10 м/с; E_к = E_п. Знайти: h -?

Використаємо закон збереження енергії:

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п  (1). Якщо камінь кидають вертикально вгору, то початкова висота каменю дорівнює нулю, тоді й початкова потенціальна енергія теж дорівнює нулю:  

Е_п0 = mgh₀ = 0. Початкова кінетична енергія

 Е_к0 = mV₀ ²/2 (2). За умовою задачі кінцева кінетична енергія дорівнює кінцевій потенціальній енергії: Е_к = Е_п = mgh (3). Підставимо вирази (2) та (3), враховуючи, що Е_п0 = mgh₀ = 0, у формулу (1), отримаємо:

mV₀ ²/2 = mgh + mgh, або 

mV₀ ²/2 = 2mgh. Скорочуємо ліву і праву частини рівняння на масу та помножимо на «2», отримаємо:

 V₀ ² = 4gh, звідки h = V₀ ²/4g. Підставимо значення величин:

h = 100/40 = 2,5 м.

Відповідь: h = 2,5 м.

Задача № 2

Які значення потенціальної і кінетичної енергії стріли масою 50 г, випущеної з лука зі швидкістю 30 м/с вертикально вгору, через 2 с після початку руху?

Розв’язування

Дано: m = 0,05 кг; V₀ = 30 м/с; t = 2 с. Знайти: E_к -? E_п -?

Використаємо закон збереження енергії: 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п  (1). Якщо стрілу випускають вертикально вгору, то початкова висота стріли дорівнює нулю, тоді й початкова потенціальна енергія теж дорівнює нулю:  Е_п0 = mgh₀ = 0. Початкова кінетична енергія 

Е_к0 = mV₀ ²/2 = 0,05∙900/2 = 22,5 Дж (2). За законами кінематики визначаємо швидкість стрілі через 2 с:

V = V₀ – gt = 30 - 10∙2 = 30 – 20 = 10 м/с. Кінетичну енергію стріли через 2 с після початку руху знаходимо за формулою:

Е_к = mV ²/2 = 0,05∙100/2 = 2,5 Дж. Для того, щоб знайти потенціальну енергію  через 2 с після початку руху, є два способи: складний і простий. Складний полягає у тому, що шукаємо формулу кінематики, за якою можна знайти висоту тіла, кинутого вертикально вгору, обчислюємо її, а потім, визначивши висоту, за формулою потенціальної енергії визначаємо цю енергію. Простий спосіб – використовуємо  закон збереження енергії: Е_к0 = Е_к + Е_п, з якого

Е_п = Е_к0 -  Е_к. Підставляємо значення величин:

 Е_п = 22,5 Дж – 2,5 Дж = 20 Дж.

Відповідь: Е_к = 2,5 Дж, Е_п = 20 Дж.     

Задача № 3

Вантаж масою 25 кг висить на шнурі завдовжки 2,5 м. На яку найбільшу висоту можна відхилити вбік вантаж, щоб після подальших вільних хитань шнур не обірвався? Максимальна сила натягу шнура дорівнює 550 Н.

Розв’язування

Дано: m = 25 кг; L = 2,5 м; F = 550 Н. Знайти: h -?

Зробимо малюнок. На малюнку позначено висоту h, на яку підняли тіло та вертикальне положення вантажу.

 У цьому положенні кінетична енергія тіла максимальна, а потенціальна дорівнює нулю (за умовою задачі можна таким образом вибрати нульовий рівень потенціальної енергії). У початковому положенні потенціальна енергія максимальна, а кінетична дорівнює нулю (спочатку вантаж не рухається), тобто Е_к0 = 0, Е_п0 = mgh, Е_к = mV ²/2, Е_п = 0. Підставимо ці значення у закон збереження енергії: Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п , отримаємо:

mgh = mV ²/2 (1), але нам невідома швидкість, з якою вантаж проходить вертикальне положення. Як її знайти? Використати другий закон Ньтона. На тіло у вертикальному положенні будуть діяти дві вертикальних сили – сила натягу, напрямлена вгору, як і доцентрове прискорення (рух по дузі кола) , і сила тяжіння, напрямлена донизу. Проекція доцентрового прискорення та проекція сили натягу будуть додатними, а проекція сили тяжіння – від’ємна, тоді:

F - mg = ma (2), де а – прискорення руху. Тіло рухається по дузі кола, тому це доцентрове прискорення 

а = V²/R, роль радіуса кола грає довжина шнура, тому     

a = V²/L (3). Підставимо (3) в (2), отримаємо:

F - mg = mV²/L, звідки mV² = (F – mg)L. Підставимо цей вираз у рівняння (1):

mgh = (F – mg)L/2, звідки h = [(F – mg)L]/2mg. Підставимо значення величин:

h = [(550 – 250)∙2,5]/(2∙25∙10) = 1,5 м.

Відповідь: h = 1,5 м.

Задача № 4

Цирковий артист масою 60 кг падає в натягнуту сітку з висоти 4 м. З якою силою діє на артиста сітка, якщо її прогин дорівнює 1 м?

Розв’язування

Дано: m = 60 кг; h = 4 м; x = 1м. Знайти: F -?

У початковому положенні циркового артиста потенціальна енергія максимальна, а кінетична дорівнює нулю (спочатку артист не рухається), тобто 

Е_к0 = 0, Е_п0 = mgh.  У кінцевому положенні швидкість артиста теж дорівнює нулю (він впав на сітку і погасив свою швидкість), тобто Е_к = 0, але внаслідок погашення швидкості сітка прогнулась, деформувалась і має потенціальну енергію деформації 

E_п = kx²/2. Підставимо ці значення у закон збереження енергії: 

Е_к0 + Е_п0 = Е_к + Е_п , отримаємо:

 mgh = kx²/2. Сила пружності 

F = kx, тоді mgh = kx∙x/2 або mgh = Fx/2, звідки

F = 2mgh/x. Підставимо значення величин:

 F = 2∙60∙10∙4/1 = 4800 Н = 4,8 кН.

Відповідь:  F = 4800 Н = 4,8 кН.