Понеділок, 16.05.2022. 11 клас

 

Розв’язування задач

Розв’язування задач на тему «Енергія АЕС»

Під час розв’язування задач на тему «Енергія АЕС» потрібно пам’ятати, що при кожному поділі ядра урану виділяється енергія 200 МеВ. Цю енергію з МеВ потрібно перетворити у Дж. Зробимо це, врахувавши, що 1 еВ = 1,6∙10^-19 Дж:

200 МеВ = 200∙10⁶∙1,6∙10^-19 Дж = 3,2∙10^-11 Дж. 

Потрібно пам’ятати: якщо молярну масу урану беремо у г/моль

М = 235 г/моль, тоді й масу урану беремо у грамах; якщо маса урану дана у кілограмах, тоді й молярну масу беремо у кг/моль

М = 235∙10^-3 = 2,35∙10^-1 кг/моль. У більшості задач на енергію АЕС час виражено в добах, а нам потрібні секунди, перетворимо час у секунди:

1 доба = 24∙3600 = 86 400 с = 8,64∙10⁴ с.

 Задача № 1

Яка електрична потужність атомної електростанції, що витрачає за добу 220 г ізотопу урану U-235 і має ККД 25%? Вважайте, що при кожному поділі ядра урану виділяється енергія 200 МеВ.

Розв’язування

Дано: m = 220 г; t = 8,64∙10⁴ с; M = 235 г/моль;  E₀ = 3,2∙10^-11 Дж; η = 0,25.

Знайти: P -?

 Будь-який ККД визначається за формулою: η = А_кор/А, але для електроенергії можна записати η = Е_кор/Е (1), де Е_кор – це корисна енергія, яку виробляє АЕС, а 

Е – це енергія, що виділяється під час поділу ядер урану. Корисну енергію визначаємо за формулою Е_кор = Рt (2), де Р – потужність електростанції, t – час роботи. Енергію, що виділяється під час поділу ядер урану, визначаємо за формулою 

Е = NЕ₀ (3), де Е₀ – енергія, що виділяється при поділі одного ядра, N – кількість ядер, яку знайдемо за формулою 

N = mN_A/M (4). Підставимо вираз (4) у формулу (3): 

Е = mN_AЕ₀/M (5). Підставимо вирази (5) та (2) у формулу (1):

η = РtM/mN_AE₀, з цього виразу Р = ηmN_AE₀/tM. Підставимо значення величин, отримаємо:

Р = (0,25∙220∙6,02∙10²³∙3,2∙10^-11)/235∙8,64∙10⁴) = 0,52∙10⁸ Вт = 52∙10⁶ Вт =     

= 52 МВт.

Відповідь: Р = 52 МВт.

 Задача № 2

Знайдіть ККД атомної електростанції потужністю 500 МВт, якщо вона витрачає за кожну добу 2,35 кг ізотопу урану U-235. Вважайте, що при кожному поділі ядра урану виділяється енергія 200 МеВ.

Розв’язування

Дано: P = 5∙10⁸ Вт; m = 2,35 кг; M = 2,35∙10^-1 кг/моль; t = 8,64∙10⁴ с;

E₀ = 3,2∙10^-11 Дж. Знайти: η -?

Будь-який ККД визначається за формулою: η = А_кор/А, але для електроенергії можна записати η = Е_кор/Е (1), де Е_кор – це корисна енергія, яку виробляє АЕС, а 

Е – це енергія, що виділяється під час поділу ядер урану. Корисну енергію визначаємо за формулою 

Е_кор = Рt (2), де Р – потужність електростанції, t – час роботи. Енергію, що виділяється під час поділу ядер урану, визначаємо за формулою 

Е = NЕ₀ (3), де Е₀ – енергія, що виділяється при поділі одного ядра, N – кількість ядер, яку знайдемо за формулою 

N = mN_A/M (4). Підставимо вираз (4) у формулу (3):

Е = mN_AЕ₀/M (5). Підставимо вирази (5) та (2) у формулу (1):

η = РtM/mN_AE₀. Підставимо значення величин, отримаємо:

η = (5∙10⁸∙8,64∙10⁴∙2,35∙10^-1)/(2,35∙6,02∙10²³∙3,2∙10^-11) = 0,22 = 22%

Відповідь : η = 22%

 Задача № 3

ККД атомної електростанції потужністю 600 МВт дорівнює 28%. Знайдіть масу ядерного пального (урану-235), що витрачає електростанція кожну добу. Вважайте, що при кожному поділі ядра урану виділяється енергія 200 МеВ.

Розв’язування

Дано: P = 6∙10⁸ Вт; η = 0,28; M = 235 г/моль; t = 8,64∙10⁴ с; E₀ = 3,2∙10^-11 Дж. Знайти: m -?

Будь-який ККД визначається за формулою: η = А_кор/А, але для електроенергії можна записати η = Е_кор/Е (1), де Е_кор – це корисна енергія, яку виробляє АЕС, а 

Е – це енергія, що виділяється під час поділу ядер урану. Корисну енергію визначаємо за формулою 

Е_кор = Рt (2), де Р – потужність електростанції, t – час роботи. Енергію, що виділяється під час поділу ядер урану, визначаємо за формулою 

Е = NЕ₀ (3), де Е₀ – енергія, що виділяється при поділі одного ядра, N – кількість ядер, яку знайдемо за формулою 

N = mN_A/M (4). Підставимо вираз (4) у формулу (3): 

Е = mN_AЕ₀/M (5). Підставимо вирази (5) та (2) у формулу (1):

η = РtM/mN_AE₀, з цього виразу:

m = РtM/ηN_AE₀. Підставимо значення величин, отримаємо:

m = (6∙10⁸∙8,64∙10⁴∙235)/(0,28∙6,02∙10²³∙3,2∙10^-11) = 2259 г = 2,26 кг.

Відповідь: m = 2,26 кг.

 Задача № 4

Скільки води можна нагріти від 20 С до 100 С і випарити за рахунок енергії, що виділяється при поділі 9,4 г Урану-235? Вважайте, що при кожному поділі ядра урану виділяється енергія 200 МеВ. Витрати енергії не враховуйте.

Розв’язування

Дано: Δt = 80 ⁰С; c = 4,2∙10³ Дж/кгК; r = 2,3∙10⁶ Дж/кг; m₁ = 9,4 г;

M = 235 г/моль; E₀ = 3,2∙10^-11 Дж. Знайти: m₂ -?

Енергію, що виділяється під час поділу ядер урану, визначаємо за формулою 

Е = NЕ₀ (1), де Е₀ – енергія, що виділяється при поділі одного ядра, N – кількість ядер, яку знайдемо за формулою 

N = m₁N_A/M, де m₁ – це маса урану (2). Підставимо вираз (2) у формулу (1): 

Е = m₁N_AЕ₀/M (3). Уся ця енергія за умовою задачі витрачається на нагрівання та випаровування води:

Е = Q, де кількість теплоти визначається за формулою

Q = cm₂Δt + rm₂ = m₂(сΔt + r), де с – це питома теплоємність води, Δt – зміна температури води, m₂ – маса води, r – питома теплота пароутворення, тоді:

m₁N_AЕ₀/M = m₂(сΔt + r), звідки маса води

m₂ = (m₁N_AЕ₀)/[M(сΔt + r)]. Підставимо значення величин:

m₂ = (9,4∙6,02∙10²³∙3,2∙10^-11)/[235∙(4,2∙10³∙80 + 230∙10⁴)] = 1,36∙10⁵ кг =

= 136 т.

Відповідь: m₂ = 136 т.

Задача № 5

Період піврозпаду Плутонію-238 становить 86 років. При розпаді кожного ядра цього ізотопу виділяється енергія 5,5 МеВ. Скільки енергії виділяється за добу у зразку, що містить 10 мг Плутонію-238?

Розв’язування

Дано: T = 86 р = 31,39∙10³ діб; t = 1 доба; E₀ = 8,8∙10^-13 Дж; m₀ = 10∙10^-3 г;

M = 238 г/моль. Знайти: E -?

Для того, щоб визначити енергію, що виділяється за добу у зразку, потрібно визначити, скільки ядер розпадається за добу. Використовуємо закон радіоактивного розпаду: 

N = N₀/2^t/T, де N – кількість ядер, що залишилися через певний час, тоді кількість ядер, що розпалися за той же час, становить:

N¹ = N₀ – N = N₀ – N₀/2^t/T = N₀(1 – 1/2^t/T). Використаємо знання з математики про логарифми: N₀(1 – 1/2^t/T) = N₀(1 – e^{-t ln2/T}) = N₀∙t/T∙ln2 (1), ми використовуємо, що для малих значень х справедливе наближене співвідношення  1 – e^-x ≈ x. Дійсно, величина t ln2/T, якщо підставити значення, буде дуже малою. З курсу молекулярної фізики або хімії кількість ядер N₀ = m₀N_A/M (2). Підставимо (2) у (1), отримаємо: 

N¹ = N_A∙(m₀/M)∙(t/T)∙ln2. Для того, щоб визначити енергію, яка виділяється під час розпаду певної кількості ядер, потрібно цю кількість помножити на енергію, що виділяється під час розпаду одного ядра, тобто

E = E₀N¹ = E₀∙N_A∙(m₀/M)∙(t/T)∙ln2. Підставимо значення величин, отримаємо:

Е = 8,8∙10^-13∙6,02∙10²³∙(10∙10^-3/238)∙(1/31,39∙10³)∙ln2 = 2,7∙10⁴ Дж.