Понеділок, 16.05.2022. 10 клас

Розв’язування задач

Діелектричні проникності речовин

Речовина	ε	Речовина	ε	Речовина	ε
Вініпласт	3,5	Масло	2,5	Слюда	6
Вода	81	Парафін	2	Скло	7
Гас	2,1	Парафіновий папір	2,2	Текстоліт	7

 

Формули: F = kq₁q₂/εr²; E = kq/εr²; φ = kq/εr. Поверхнева густина заряду – це відношення заряду, що розподілений по поверхні, до площі поверхні:

σ = q/S, одиниці вимірювання [σ] = 1 Кл/м².

Задача № 1

Обчислити значення кожного з двох однакових зарядів, якщо у маслі на відстані 6 см один від одного вони взаємодіють із силою 0,4 мН.

Розв’язування

Дано: r = 6∙10^-2 м; F = 4∙10^-4 Н; ε = 2,5; q₁ = q₂ = q. Знайти: q -?

Сила взаємодії зарядів в середовищі F = kq₁q₂/εr², але 

q₁ = q₂ = q, тоді F = kq²/εr², звідки 

q = √(Fεr²/k) = r√(Fε/k). Підставимо значення величин, отримаємо:

q = (6∙10^-2)√(4∙10^-4∙2,5/9∙10⁹) = 20∙10^-9 Кл = 20 нКл.

Задача № 2

У скільки разів треба змінити відстань між двома зарядами, щоб при зануренні їх у гас сила взаємодії була така сама, як і в повітрі?

Розв’язування

Дано: ε₁ = 1; ε₂ = 2,1; r₁ = r; F₁ = F₂. Знайти: r₂ -?

Сила взаємодії зарядів в середовищі F = kq₁q₂/εr², тоді

F₁ = kq₁q₂/ε₁r₁² = kq₁q₂/r² та 

F₂ = kq₁q₂/ε₂r₂², але F₁ = F₂, якщо ліві частини двох рівнянь рівні, то й праві теж рівні, тобто kq₁q₂/r² = kq₁q₂/ε₂r₂². Дроби рівні, чисельники рівні, тому й знаменники теж рівні, тобто 

ε₂r₂² = r², звідки √ε₂∙r₂ = r, тоді r₂ = r/√ε₂ = r/√2,1 = r/1,45.

Задача № 3

На відстані 3 см від заряду 4 нКл, розташованого у рідкому діелектрику, напруженість поля становить 20 кВ/м. Яка діелектрична проникність діелектрика?

Розв’язування

Дано: r = 3∙10^-2 м; q = 4∙10^-9 Кл; E = 2∙10⁴ В/м. Знайти: ε -?

Напруженість електричного поля точкового заряду у середовищі 

E = kq/εr², звідки ε = kq/Еr². Підставимо значення величин, отримаємо:

ε = (9∙10⁹∙4∙10^-9)/( 2∙10⁴∙9∙10^-4) = 2.

Задача № 4

Дуже маленьку заряджену кульку помістили в гас. На якій відстані від кульки напруженість поля буде така сама, яка була в повітрі на відстані 29 см?

Розв’язування

Дано: ε₁ = 1; ε₂ = 2,1; r₁ = 0,29 м; Е₁ = Е₂. Знайти: r₂ -? 

Якщо кулька маленька, то вона має точковий заряд, тоді напруженість електричного поля точкового заряду у середовищі 

E = kq/εr². Для повітря          

E₁ = kq/r₁², для гасу 

E₂ = kq/ε₂r₂², але Е₁ = Е₂, якщо ліві частини двох рівнянь рівні, то й праві теж рівні, тобто kq/r₁² = kq/ε₂r₂². Дроби рівні, чисельники рівні, тому й знаменники теж рівні, тобто 

ε₂r₂² = r₁², звідки √ε₂∙r₂ = r₁, тоді

r₂ = r₁/√ε₂. Підставимо значення величин, отримаємо:

r₂ = 29 см/√2,1 = 20 см.

Задача № 5

Металевій кулі радіусом 3 см надали заряду 16 нКл. Визначити поверхневу густину заряду, напруженість і потенціал поля в точках, віддалених від центра кулі на 2 і 4 см.

Розв’язування

Дано: R = 3∙10^-2 м; q = 16∙10^-9 Кл; r₁ = 2∙10^-2 м; r₂ = 4∙10^-2 м.

Знайти: σ -? E -? φ -?

Поверхнева густина заряду σ = q/S, де площа поверхні кулі 

S = 4πR², тоді σ = q/4πR². Підставимо значення величин, отримаємо:

σ = 16∙10^-9/(4∙3,14∙9∙10^-4) = 0,14∙10^-5 = 1,4∙10^-6 Кл/м². Напруженість поля всередині кулі (r < R) дорівнює нулю, тобто E₁ = 0. Якщо ми шукаємо напруженість за межами кулі (r > R), то E₂ = kq/r₂². Підставимо значення величин, отримаємо: 

E₂ = (9∙10⁹∙16∙10^-9)/(16∙10^-4) = 9∙10⁴ В/м. Потенціал поля

всередині і на поверхні  кулі (r < R, r = R) становить: 

φ₁ = kq/R. Підставимо значення величин, отримаємо: 

φ₁ = (9∙10⁹∙16∙10^-9)/(3∙10^-2) = 48∙10² В. Потенціал поля за поверхнею кулі (r > R) становить  φ₂ = kq/r. Підставимо значення величин, отримаємо: 

φ₂ = (9∙10⁹∙16∙10^-9)/(4∙10^-2) = 36∙10² В.

Задача № 6

Позитивно заряджена кулька, що має масу 0,18 г і густину речовини 1800 кг/м³, перебуває у завислому стані в рідкому діелектрику, густина якого 900 кг/м³. У діелектрику є однорідне електричне поле напруженістю 45 кВ/м, напрямлене вертикально вгору. Визначити заряд кульки.

Розв’язування

Дано: m = 1,8∙10^-4 кг; ρ₁ = 1800 кг/м³; ρ₂ = 900 кг/м³; E₁ = 45∙10³ В/м. Знайти: q -?

На кульку у рідкому діелектрику діють три сили: сила тяжіння, напрямлена вниз, сила Кулона та виштовхувальна сила Архімеда, напрямлені вгору. Якщо кулька перебуває у завислому стані, то сили урівноважені, тобто

mg = F_K + F_A. Підставимо у вираз формули для обчислення сил:

mg = qE + ρ₂gV (1). Нам невідомий об’єм кульки, його обчислимо за формулою 

V = m/ρ₁ (2). Підставимо (2) в (1), отримаємо: 

mg = qE + ρ₂gm/ρ₁, перенесемо другий доданок у ліву частину рівняння: 

mg - ρ₂gm/ρ₁ = qE. Виносимо за дужки спільний множник: 

mg(1 - ρ₂/ρ₁) = qE, звідки q = mg(1 - ρ₂/ρ₁)/E. Підставимо значення величин, отримаємо:

q = (1,8∙10^-4∙10(1 – 900/1800))/(45∙10³) = 0,2∙10^-7 = 20∙10^-9 Кл = 20 нКл.