Понеділок, 09.05.2022. 9 клас

 

Механічна робота

Математичний вираз механічної роботи:

А = FS ,

де F – сила, що діє на тіло, S – переміщення тіла. Саме складне у цих задачах – визначити силу F. Дуже часто її знаходять за другим законом Ньютона, а це означає, що потрібно робити малюнок, позначати всі сили, що діють на тіло, і визначати рівнодійну силу. Одиниця механічної роботи:

[А] = 1 Н∙м = 1 Дж.

Робота сили тяжіння:

А = mgh.

Робота сили пружності:

A = kx²/2, A = kx₁²/2 – kx₂²/2.

Задача № 1

Під дією сили 500 Н тіло, рухаючись з прискоренням 5 м/с², збільшило швидкість від 36 до 72 км/год. Визначити роботу цієї сили.

Розв’язування

Дано: F = 500 Н; a = 5 м/с²; V₀ = 10 м/с; V = 20 м/с. Знайти: A -?

Загальна формула роботи А = FS , сила відома, але переміщення не знаємо, його потрібно визначити. За формулами кінематики 

S = (V² – V₀²)/2a. Підставимо значення величин, отримаємо:

 S = (400 м²/с² – 100 м²/с²)/10 м/с² = 30 м. Підставимо значення величин у формулу роботи, отримаємо:

А = 500 Н∙30 м = 15000 Дж = 5 кДж.

Відповідь: А = 5 кДж.

Задача № 2

Сила, яку вимірюють за допомогою динамометра, спочатку збільшується від нуля до 40 н, а потім – від 40 до 60 Н. У якому випадку під час розтягування пружини виконується більша робота? У скільки разів більша?

Розв’язування

Дано: F₁ = 0 F₂ = 40 Н; F₁¹ = 40 Н; F₂¹ = 60 Н. Знайти:  A₁ –? A₂ -?

 Загальна формула роботи сили пружності:

A = kx₁²/2 – kx₂²/2. Формула сили пружності F = kx, піднесемо до квадрату ліву і праву частини рівняння, отримаємо: F² = k²x², поділимо обидві частини на жорсткість  F²/k = kx² та поділимо на 2, отримаємо 

F²/2k = kx²/2, тобто

kx²/2 = F²/2k, тоді формула роботи у першому випадку

A₁ = F₁²/2k – F₂²/2k. Підставимо значення величин, отримаємо:

A₁ = 0 – 1600 Н²/2k Н/м = - 800/k Дж. Це робота сили пружності, яка відбувається проти деформації, тому вона від’ємна. Робота ж людини під час розтягування пружини A₁ = 800/k Дж.

Формула роботи у другому випадку 

A₂ = (F₁¹) ²/2k – (F₂ ¹) ²/2k. Підставимо значення величин, отримаємо:

A₂ = 1600/2k – 3600/2k = 800/k – 1800/k = - 1000/k Дж, тоді робота людини під час розтягування пружини A₂ = 1000/k Дж. Як бачимо А₂ > А₁, тоді

А₂/А₁ = (1000/k Дж)/(800/k Дж) = 1,25.

Відповідь: А₂ > А₁, А₂/А₁ = 1,25.

Задача № 3

Пружина жорсткістю 120 Н/м розтягнута на 10 см. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути її ще на 20 см?

Розв’язування

Дано: k = 120 Н/м; x₁ = 0,1 м; x₂ = 0,3 м. Знайти: A -?

Загальна формула роботи сили пружності:

A = kx₁²/2 – kx₂²/2. Підставимо значення величин, отримаємо:

A = (120∙0,01)/2 – (120∙0,09)/2 = 0,6 – 5,4 = - 4,8 Дж, тобто щоб розтягнути пружину ще на 20 см, потрібно виконати роботу А = 4,8 Дж.

Відповідь: А = 4,8 Дж.

 Задача № 4

Яку роботу виконує людина під час піднімання вантажу масою 2 кг на висоту   1 м з прискоренням 3 м/с²?

Розв’язування

Дано: m = 2 кг; h = 1 м; a = 3 м/с². Знайти: A -?

За виразом механічної роботи: А = FS (1), де F – сила, яку прикладає до тіла людина, S – переміщення тіла. Силу  знаходять за другим законом Ньютона. Зробимо малюнок, позначимо всі сили, що діють на тіло, та записуємо другий закон Ньютона у векторній формі:

 

  →   →     →

ma = F + mg. Від векторів переходимо до їх проекцій на вісь: ma = F – mg, звідки

F = mg + ma = m (g + a) (2). Підставимо (2) в (1), отримаємо:

А = m(g + a)S. Підставимо значення величин:

А = 2∙(10 + 3)∙1 = 26 Дж.

Відповідь: А = 26 Дж.

 Задача № 5

Баштовий кран піднімає в горизонтальному положенні сталеву балку завдовжки 5 м з перерізом 100 см² на висоту 12 м. Яку роботу виконує кран?

Розв’язування

Дано: ρ = 7800 кг/м³; L = 5 м; S = 10^-2 м²; h = 12 м. Знайти: A -?

Якщо будь-яке тіло піднімають рівномірно, то робота по підніманню дорівнює роботі сили тяжіння. За виразом механічної роботи сили тяжіння: 

А = mgh (1), де m – маса балки, h – висота, на яку піднімають балку. Масу балки знайдемо за формулою m = ρV, де об’єм V = SL, де S – переріз балки, L – довжина балки, тоді m = ρSL (2). Підставимо (2) в (1), отримаємо:

А = ρSLgh. Підставимо значення величин, отримаємо:

А = 7800∙0,01∙5∙10∙12 = 46800 Дж = 46,8 кДж.

Відповідь: А = 46800 Дж = 46,8 кДж.

Задача № 6

У воді з глибини 5 м піднімають до поверхні камінь об’ємом 0,6 м³. Густина каменю 2500 кг/м³. Визначити роботу при підніманні каменю.

Розв’язування

Дано: h = 5 м; ρ_в = 1000 м/с²; ρ_к = 2500 кг/м³; V = 0,6 м³. Знайти: A -?

За виразом механічної роботи: А = FS (1), де F – сила, яку прикладає до каменю людина, S – переміщення тіла. Силу  знаходять за другим законом Ньютона. Зробимо малюнок, позначимо всі сили, що діють на тіло, та записуємо другий закон Ньютона у векторній формі:

 →   →   →      →                                   

ma = F + F_A + mg. Від векторів переходимо до їх проекцій на вісь:

ma = F + F_A – mg, де F_A – сила Архімеда F_A = ρ_вgV. За умовою задачі камінь піднімається рівномірно, тобто

а = 0, тоді ma = 0 або

0 = F + ρ_вgV – mg, де m – маса каменю, яку знайдемо за формулою 

m = ρ_кV, звідки

F = ρ_кVg – ρ_вgV = gV (ρ_к – ρ_в) (2). Підставимо (2) в (1), отримаємо:

А = gV(ρ_к – ρ_в)S. Підставимо значення величин:

А = 10∙0,6∙(2500 – 1000)∙5 = 45 000 Дж.

Відповідь: А = 45 000 Дж.