Четвер, 05.05.2022. 10 клас

 

Розв’язування задач

1. Сьогодні ми розв’язуємо задачі на напруженість електричного поля та принцип суперпозиції полів. Нагадаю, що загальна формула напруженості 

E = F/q, де F  -cила, що діє на заряд, q - величина заряду. Напруженість поля точкового заряду визначається за формулою E = kq/r², де r - відстань від заряду до точки, у який визначаємо напруженість, k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл². Якщо у просторі знаходиться кілька зарядів, то загальна напруженість визначається за принципом суперпозиції полів:

→  →    →             →

 Е = Е₁ + Е₂ + … + Е_n. Самі складні задачі на цей принцип, тому що напруженість поля – векторна величина, а додаються вектори за геометричними правилами трикутника і паралелограма. Потрібно пам’ятати, що вектор напруженості напрямлений від позитивного заряду та до негативного. Вектор напруженості прикладається не до заряду, а до тієї точки, у якій ми шукаємо напруженість.

Задача № 1

Яка сила діє на заряд 12 нКл, розміщений у точці, в якій напруженість електричного поля дорівнює 2 кВ/м?

Розв’язування

Дано: q = 12∙10^-9 Кл; E = 2∙10³ В/м. Знайти: F -?

Використаємо формулу  E = F/q, з якої сила F = qЕ. Підставимо значення величин: F = 12∙10^-9∙2∙10³ = 24∙10^-6 Н.

Відповідь: F = 24∙10^-6 Н.

Задача № 2

З яким прискоренням рухається електрон у полі напруженістю 10 кВ/м?

Розв’язування

Дано: q = 1,6∙10^-19 Кл; m = 9∙10^-31 кг; E = 10⁴ В/м. Знайти: a -?

Використаємо формулу  E = F/q, з якої сила, що діє на електрон з боку електричного поля F = qЕ. З іншого боку сила визначається другим законом Ньютона: F = ma. Є два рівняння, у яких ліві сторони рівні, тоді і праві теж рівні: qЕ = ma, звідки a = qE/m, заряд і маса електрона завжди відомі

q = 1,6∙10^-19 Кл, m = 9∙10^-31кг. Підставимо значення величин у формулу:

а = 1,6∙10^-19∙10⁴/9∙10^-31 = 1,7∙10¹⁵ м/с².

Відповідь: а = 1,7∙10¹⁵м/с².

Задача № 3

Знайти напруженість поля заряду 36 нКл у точках, віддалених від заряду на 9 і 18 см.

Розв’язування

Дано: q = 36∙10^-9 Кл; r₁ = 9∙10^-2 м; r₂ = 18∙10^-2 м. Знайти: E₁ -? E₂ -?

Напруженість поля точкового заряду визначається за формулою E = kq/r². Підставимо значення величин:

E₁ = 9∙10⁹∙36∙10^-9/81∙10^-4 = 4∙10⁴ В/м,

E₂ = 9∙10⁹∙36∙10^-9/324∙10^-4 = 1∙10⁴ В/м.

Відповідь: E₁ = 4∙10⁴ В/м, E₂ = 1∙10⁴ В/м.

 Задача № 4

У точці А (дивись малюнок) розміщено заряд q₁, у точці В - заряд q₂. Знайти проекцію на вісь Х вектора напруженості результуючого поля в точках С і D, якщо АС = 6 см, СВ = BD = 3 см. Розглянути випадки: а) q₁ = 40 нКл, q₂ = 10 нКл; б) q₁ = 40 нКл, q₂ = - 10 нКл.

Розв’язування

Дано: q₁ = 40∙10^-9 Кл; q₂ = 10∙10^-9 Кл; r₁ = 6∙10^-2 м; r₂ = r₃ = 3∙10^-2 м.

Знайти: E_C -? E_D -?

1).Загальна напруженість визначається за принципом суперпозиції полів:

→   →    →            →

 Е = Е₁ + Е₂ + … + Е_n. Для визначення загальної напруженості у випадку а) зробимо малюнок спочатку для точки С, прикладаючи до точки С вектори та  враховуючи, що вектор напруженості напрямлений від позитивного заряду. Як видно з малюнку вектори напруженості Е_А та Е_В напрямлені вздовж однієї прямої в протилежні сторони, модуль суми цих векторів визначається різницею модулів векторів Е_А та Е_В, при цьому від більшого модуля віднімають менший. Визначимо модулі напруженостей:

Е_А = kq₁/r₁², де r₁ = АС = 6 см = 6∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_А = 9∙10⁹∙40∙10^-9/36∙10^-4 = 10∙10⁴ В/м.

Е_В = kq₂/r₂², де r₂ = ВС = 3 см = 3∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_В = 9∙10⁹∙10∙10^-9/9∙10^-4 = 10∙10⁴ В/м. Тоді:

Е_С1 = Е_А - Е_В = 10∙10⁴ - 10∙10⁴ = 0.

Тепер зробимо малюнок для точки D, враховуючи, що вектор напруженості напрямлений від позитивного заряду.

Як видно з малюнку вектори напруженості Е_А та Е_В напрямлені вздовж однієї прямої в одну сторону, модуль суми цих векторів визначається сумою модулів векторів Е_А та Е_В. Визначимо модулі напруженостей:

Е_А = kq₁/r₃², де r₃ = АD = AC + CB + BD = 12 см = 12∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_А = 9∙10⁹∙40∙10^-9/144∙10^-4 = 2,5∙10⁴ В/м.

Е_В = kq₂/r₂², де r₂ = ВD = 3 см = 3∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_В = 9∙10⁹∙10∙10^-9/9∙10^-4 = 10∙10⁴ В/м. Тоді:

Е_D1 = Е_А + Е_В = 2,5∙10⁴ + 10∙10⁴ = 12,5∙10⁴ В/м.

2).Розглянемо випадок б). Спочатку зробимо малюнок для точки С, прикладаючи до точки С вектори та  враховуючи, що вектор напруженості напрямлений від позитивного заряду та до негативного.

Як видно з малюнку вектори напруженості Е_А та Е_В напрямлені вздовж однієї прямої в одну сторону, модуль суми цих векторів визначається сумою модулів векторів Е_А та Е_В. Визначимо модулі напруженостей:

Е_А = kq₁/r₁², де r₁ = АС = 6 см = 6∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_А = 9∙10⁹∙40∙10^-9/36∙10^-4 = 10∙10⁴ В/м.

Е_В = kq₂/r₂², де r₂ = ВС = 3 см = 3∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_В = 9∙10⁹∙10∙10^-9/9∙10^-4 = 10∙10⁴ В/м. Тоді:

Е_С2 = Е_А + Е_В = 10∙10⁴ + 10∙10⁴ = 20∙10⁴ В/м.

Тепер зробимо малюнок для точки D, враховуючи, що вектор напруженості напрямлений від позитивного заряду та до негативного.

 Як видно з малюнку вектори напруженості Е_А та Е_В напрямлені вздовж однієї прямої в різні сторони, модуль суми цих векторів визначається різницею модулів векторів Е_А та Е_В, при цьому від більшого модуля віднімають менший. Визначимо модулі напруженостей:

Е_А = kq₁/r₃², де r₃ = АD = AC + CB + BD = 12 см = 12∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_А = 9∙10⁹∙40∙10^-9/144∙10^-4 = 2,5∙10⁴ В/м.

Е_В = kq₂/r₂², де r₂ = ВD = 3 см = 3∙10^-2 м. Підставимо значення величин:

Е_В = 9∙10⁹∙10∙10^-9/9∙10^-4 = 10∙10⁴ В/м. Тоді:

Е_D2 = Е_В - Е_А = 10∙10⁴ – 2,5∙10⁴ = 7,5∙10⁴ В/м.

Відповідь: а) Е_С1 = 0, Е_D1 = 12,5∙10⁴ В/м; б) Е_С2 = 20∙10⁴ В/м, Е_D2 = 7,5∙10⁴ В/м.

Задача № 5

Заряди по 0,1 мкКл розміщено на відстані 6 см один від одного. Знайти напруженість поля в точці, віддаленій на 5 см від кожного з зарядів. Розв’язати цю задачу для випадків: а) обидва заряди позитивні; б) один заряд позитивний, а інший негативний.

Розв’язування

Дано: q₁ = q₂ = 10^-7 Кл; r₁ = 6∙10^-2 м; r₂ = 5∙10^-2 м. Знайти: E -?

1). Для визначення загальної напруженості у випадку а) зробимо малюнок.

Якщо точка, в якій ми шукаємо напруженість, рівновіддалена від зарядів, то вона і заряди утворюють рівнобедрений трикутник з бічною стороною 5 см та основою 6 см. Якщо обидва заряди позитивні, то напруженості Е₁ та Е₂ напрямлені від зарядів. Загальна напруженість Е – це векторна сума напруженостей Е₁ та Е₂, яку знаходимо за правилом паралелограма (бо обидва вектори виходять з однієї точки). Записуємо формули для визначення Е₁ та Е₂, враховуючи, що q₁ = q₂ = q:

Е₁ = kq/r², де r – відстань від заряду до точки – однакова для обох зарядів.

Е₂ = kq/r² (1), де r = 5 см = 5∙10^-2 м. Ми бачимо, що Е₁ = Е₂, але у паралелограма протилежні сторони рівні, тобто це паралелограм з рівними сторонами, тобто ромб! Що ми знаємо про паралелограм?

Діагоналі паралелограма перетинаються під прямим кутом, в точці перетину діляться на два та є бісектрисами кутів. Використаємо ці властивості. З малюнка видно, що половина вектора Е – це прилеглий катет у трикутнику, тоді Е = 2Е₂∙Cosα (2). Підставимо (1) в (2), отримаємо:

Е = 2∙ (kq/r²)Cosα = 2∙ kq∙ Cosα/r². Cosα знаходимо з нижнього більшого трикутника за визначенням:

Cosα = (√(25 – 9))/5 = 4/5 = 0,8. Підставимо значення величин:

Е = 2∙9∙10⁹∙0,1∙10^-6∙0,8/25∙10^-4 = 57,6∙10⁴ В/м.

2). Розглянемо випадок б) та зробимо малюнок. Нехай перший заряд – позитивний (вектор напруженості напрямлений від заряду), а другий – негативний (вектор напруженості напрямлений до заряду).

Загальна напруженість Е – це векторна сума напруженостей Е₁ та Е₂, яку знаходимо за правилом паралелограма (бо обидва вектори виходять з однієї точки). Записуємо формули для визначення Е₁ та Е₂, враховуючи, що

q₁ = q₂ = q:

Е₁ = kq/r², де r – відстань від заряду до точки – однакова для обох зарядів.

Е₂ = kq/r² (1), де r = 5 см = 5∙10^-2 м. Ми бачимо, що Е₁ = Е₂, але у паралелограма протилежні сторони рівні, тобто це паралелограм з рівними сторонами, тобто ромб! Використаємо властивості ромба. З малюнка видно, що половина вектора Е – це прилеглий катет у трикутнику, тоді Е = 2Е₁∙Cosα (2). Підставимо (1) в (2), отримаємо:

Е = 2∙ (kq/r²)Cosα = 2∙ kq∙ Cosα/r². Cosα знаходимо з нижнього більшого трикутника за визначенням:

Cosα = 3/5 = 0,6. Підставимо значення величин:

Е = 2∙9∙10⁹∙0,1∙10^-6∙0,6/25∙10^-4 = 43,2∙10⁴ В/м.

Відповідь: а) Е = 57,6∙10⁴ В/; б) Е = 43,2∙10⁴ В/м.

Задача № 6

В однорідному полі напруженістю 40 кВ/м міститься заряд 27 нКл. Знайти напруженість результуючого поля на відстані 9 см від заряду в точках, що лежать: а) на силовій лінії однорідного поля, яка проходить через заряд; б) на прямій, яка проходить через заряд і перпендикулярна силовим лініям.

Розв’язування

Дано: E₁ = 40∙10³ В/м; q = 27∙10^-9 Кл; r = 9∙10^-2 м. Знайти: E -?

1). Розглянемо випадок а). Візьмемо позитивний заряд. Зробимо малюнок, на якому зобразимо декілька силових ліній однорідного поля та напруженість поля точкового заряду.

З малюнка видно, що вектори напруженості напрямлені вздовж однієї прямої в один бік, тобто модуль вектора загальної напруженості дорівнює сумі модулів напруженостей Е₁ і Е₂. Напруженість Е₂ знайдемо за формулою:

Е₂ = kq/r². Підставимо значення величин:

Е₂ = 9∙10⁹∙27∙10^-9/81∙10^-4 = 3∙10⁴ В/м = 30∙10³ В/м = 30 кВ/м.

Е = Е₁ + Е₂ = 40 кВ/м + 30 кВ/м = 70 кВ/м.

2). Розглянемо випадок б) з позитивним зарядом. Зробимо малюнок, на якому зобразимо силову лінію однорідного поля та напруженість поля точкового заряду.

Загальну напруженість Е знайдемо як векторну суму напруженостей Е₁ та Е₂ за правилом паралелограма. Модуль вектора загальної напруженості можна обчислити за теоремою Піфагора:

Е = √( Е₁² + Е₂²) = √(40² + 30²) = 50 кВ/м.

Відповідь: а) Е = 70 кВ/м; б) Е = 50 кВ/м.

2. Домашнє завдання

1). Переписати у робочий зошит розв’язані задачі, зробити фото та відправити за адресою omichka@ukr.net та omichkanatali@gmail.com

2). Розв’язати задачу № 6 у випадку, коли заряд негативний, зробити фото та відправити за адресою omichka@ukr.net та omichkanatali@gmail.com