Четвер, 24.03.2022, 10 клас

Розв’язування задач

Четвер – 24.03 – урок розв’язування задач на механічні властивості твердих тіл. У п’ятницю буде контрольна робота. Як завжди номер варіанта – номер учня у списку. Контрольну виставлю о 10 годині на блозі, розв’язок чекаю протягом дня (в наслідок специфічних умов праці) за адресою omichka@ukr.net або omichkanatali@gmail.com . Чим пізніше (у днях) буде надіслано роботу, тим меншою буде оцінка.   

 Для розв’язування задач на механічні властивості твердих тіл потрібно пам’ятати такі формули:

абсолютне видовження (стиск) Δl = l – l₀, де l – кінцева довжина, l₀ – початкова довжина, вираз береться за модулем, не враховується знак;

відносне видовження ε = Δl/l₀;

механічна напруга σ = F/S, де σ – механічна напруга, [σ] = 1 Па; F – сила пружності; S – площа поперечного перерізу тіла; 

закон Гука σ = Eε, де E – модуль пружності або модуль Юнга, [E] = 1 Па; 

або закон Гука у розгорнутому вигляді F = SEΔl/l₀.

Модуль пружності Е та максимальну напругу (границю міцності), яку може витримати тіло σ_мц містяться у таблиці.

Речовина	σмц, МПа (∙106 Па)	Е, ГПа (∙109 Па)
Алюміній	100	70
Латунь	50	100
Свинець	15	15
Срібло	140	80
Сталь	500	200
Мідь	400	120

 

Повторимо розв’язування задач на поверхневий натяг та вологість повітря.

Задача № 1 (611)

Діаметр капронової рибальської жилки 0,12 мм, а розривне навантаження 7,5 Н. Визначити границю міцності на розрив даного сорту капрону.

Розв’язування

Дано: r = 0,06∙10^-3 = 6∙10^-5 м; F = 7,5 Н. знайти: σ_мц - ?

 Границю міцності на розрив можна визначити за формулою σ = F/S, де площа перерізу S = πr², тоді 

σ_мц = F/πr². Підставимо значення величин, отримаємо:

σ_мц = (7,5Н)/(3,14∙36∙10^-10м²) = 6,6∙10⁸ Па.

Задача № 2 (612)

Із скількох стальних дротин діаметром 2 мм має складатися трос, розрахований на піднімання вантажу масою 2 т?

Розв’язування

Дано: r = 1∙10^-3 м; m = 2∙10³ кг; σ_мц = 500∙10⁶ Па (таблиця). 

Знайти: N -?

Мінімальну кількість дротин можна знайти з умови, що механічна напруга, що виникає в тросі, дорівнює границі міцності. За формулою

σ_мц = F/S, де площа перерізу тросу дорівнює добутку кількості дротин на площу однієї дротини, тобто 

S = Nπr², сила пружності дорівнює силі тяжіння 

F = mg, тоді

σ_мц = mg/Nπr², звідки число дротин 

N = mg/σ_мцπr². Підставимо значення величин, отримаємо:

N = (2∙10³∙10)/(5∙10⁸∙3,14∙10^-6) = 12,7(ясно, що нецілого числа дротин не може буди, тому в цьому випадку завжди округлюємо до більшого числа) = 13.

 Задача № 3 (613)

 При якій найменшій довжині h свинцева дротина, підвішена за один кінець, розірветься від власної ваги?

Розв’язування

Здається, що у цій задачі нічого невідомо, але це не так, у таблицях можна знайти границю міцності та густину для свинцю, записуємо, що нам відомо.

Дано: σ_мц = 15∙10⁶ Па; ρ = 11,3∙10³ кг/м³. Знайти: h - ?

 Максимальну довжину дротини можна знайти з умови, що механічна напруга, що виникає в дротині, дорівнює границі міцності. За формулою 

σ_мц = F/S, де сила пружності буде дорівнювати вазі дротини 

F = mg. Виражаємо масу дротини через густину та об’єм, а об’єм через геометричні розміри:

F = ρVg = ρShg. Підставимо вираз для сили у вираз для границі міцності

σ_мц = ρShg/S = ρhg, звідки 

h = σ/ρg. Підставимо значення величин, отримаємо:

h = (15∙10⁶)/(11,3∙10³∙10) = 132,7 м.

Задача № 4

Чи можна до мідного дроту з площею поперечного перерізу 4 мм²  підвісити вантаж масою 80 кг?

Розв’язування

Для того, щоб зрозуміти, чи можна підвісити вантаж, потрібно знайти механічну напругу і порівняти її з границею міцності: якщо механічна напруга менша за границю міцності, то можна; якщо механічна напруга більша за границю міцності, то неможна, бо дротина розірветься.

Дано: S = 4∙10^-6 м²; m = 80 кг; σ_мц = 400∙10⁶ Па. Знайти: σ - ?

 Механічну напругу можна визначити за формулою 

σ = F/S, де сила пружності F = mg, тоді 

σ = mg /S. Підставимо значення величин, отримаємо:

σ = (80∙10)/(4∙10^-6) = 20∙10⁶ Па. Ми бачимо, що механічна напруга 

20∙10⁶ Па набагато менша за границю міцності (напругу, при якій відбувається розрив) 400∙10⁶ Па, тому вантаж можна підвішувати до мідного дроту. 

Задача № 5

Металевий трос, що складається зі 100 дротів діаметром по 0,8 мм, витримує вантаж масою до 1500 кг. Знайдіть границю міцності металу троса.

Розв’язування

Дано: N = 100; r = 4∙10^-4 м; m = 1,5∙10³ кг. Знайти: σ_мц -?

За формулою σ_мц = F/S, де площа перерізу тросу дорівнює добутку кількості дротин на площу однієї дротини, тобто 

S = Nπr², сила пружності дорівнює силі тяжіння 

F = mg, тоді σ_мц = mg/Nπr². Підставимо значення величин, отримаємо:

σ_мц = (1,5∙10³∙10)/(10²∙3,14∙16∙10^-8) = 3∙10⁸ = 300∙10⁶ Па.

 Задача № 6

У воду опустили дротяне кільце діаметром 4 см. Чому дорівнює сила поверхневого натягу, що діє на кільце?

Розв’язування

Задача на поверхневий натяг, F = σl, де σ – поверхневий натяг рідини (шукаємо у таблиці), l – довжина межі поверхневого натягу.

Дано: σ = 73∙10^-3 Н/м; d = 4∙10^-2 м. Знайти: F -?

Сила поверхневого натягу для циліндричної посудини 

F = σπd, але в кільці утворюється плівка, яка має дві поверхні, тому

F = 2σπd. Підставимо значення величин, отримаємо: 

F = 2∙73∙10^-3 ∙3,14∙4∙10^-2 = 18∙10^-3 Н

Задача № 7

З дроту довжиною 24 см зробили квадратну дротяну рамку, опустили в мильний розчин і вийняли. З якою силою діє утворена мильна плівка на кожну сторону рамки?

Розв’язування

Дано: σ = 40∙10^-3 Н/м; l = 24∙10^-2 м. Знайти: F -?

Якщо довжина квадратної дротяної рамки 24 см, то довжина однієї сторони становить 6 см або 6∙10^-2 м, тоді для плівки 

F = 2σl₀, де l₀ – довжина однієї сторони. Підставимо значення величин, отримаємо:

F = 2∙40∙10^-3∙6∙10^-2 = 4,8∙10^-3 Н.

Задача № 8

У 40 л повітря за температури 25 ⁰С міститься 0,5 г водяної пари. Яка кількість пари сконденсується, якщо за сталої температури зменшити об’єм повітря в 2 рази? 

Розв’язування

Повторимо розв’язування задач на вологість повітря. Відносна вологість повітря визначається за формулою φ = ρ_а/ρ_н, де ρ_а = m/V.

Дано: ρ_н = 23,1 г/м³; V₁ = 40∙10^-3 м³; m = 0,5 г; V₂ = 20∙10^-3 м³. Знайти: Δm-?

Густина насиченої пари за температури 25 ⁰С становить 23,1 г/м³. Визначимо густину пари, що є в повітрі першого об’єму: 

ρ_а1 = 0,5г/40∙10^-3 м³ = 12,5 г/м³.

Визначаємо густину пари, що є в повітрі для другого об’єму:

ρ_а2 = 0,5г/20∙10^-3 м³ = 25 г/м³, це перенасичена пара, лишня водяна пара (густина) сконденсується, тобто 

Δρ = 25 г/м³ - 23,1 г/м³ = 1,9 г/м³. З кожного метра кубічного сконденсується 1,9 г.

 Задача № 9

У кімнаті об’ємом 90 м³ відносна вологість повітря за 25 С становить 25%. Скільки води треба випарувати, щоб підвищити вологість до 60%, якщо температура не змінюється?  

Розв’язування

Дано: ρ_н = 23,1 г/м³; V = 90 м³; φ₁ = 0,25; φ₂ = 0,6. Знайти: Δm - ?

Відносна вологість повітря визначається за формулою 

φ = ρ_а/ρ_н, де ρ_а = m/V, тому φ = m/Vρ_н, звідки 

m = φρ_нV. Для першого випадку m₁ = φ₁ρ_нV, для другого випадку 

m₂ = φ₂ρ_нV, маса води, яку треба випарувати, становить

Δm = m₂ – m₁ = φ₂ρ_нV - φ₁ρ_нV = ρ_нV(φ₂ – φ₁). Підставимо значення величин, отримаємо: Δm = 23,1 г/м³∙90 м³(0,6 – 0,25) = 727,65 г.