П’ятниця, 01.04.2022. 9 клас

 

9 клас

Розв’язування задач

Розв’язуємо задачі на гравітацію. Потрібно знати формули:

1). сила всесвітнього тяжіння F = (Gm₁m₂)/r²;

2). cила тяжіння F = mg;

3). прискорення вільного падіння на поверхні небесного тіла g = GM/R²;

4). прискорення вільного падіння на певній висоті над поверхнею небесного тіла g = GM/(R + h)².

Вправа 33

Задача № 1

Визначте масу тіла, якщо на поверхні Місяця на нього діє сила тяжіння 7,52 Н. Яка сила тяжіння діятиме на це тіло на поверхні Землі? Прискорення вільного падіння на Місяці – 1,6 м/с².

Розв’язування

Дано: F_м = 7,52 Н; g_м = 1,6 м/с²; g_з = 9,8 м/с². Знайти: F_з - ?

Сила тяжіння для будь-якого небесного тіла визначається за формулою F = mg, тоді для Місяця  F_м = mg_м, звідки m =F_м/g_м (1). Сила тяжіння на Землі F_з = mg_з (2). Підставимо (1) в (2), отримаємо F_з = F_мg_з/g_м. Підставимо значення величин, отримаємо: F_з = (7,52∙9,8)/1,6 = 46,06 Н.

Задача № 4

Вимірявши гравітаційну сталу, Г. Кавендіш зміг визначити масу Землі, після чого з гордістю сказав: «Я зважив Землю». Визначте масу Землі, знаючи її радіус (RЗ ≈ 6400 км), прискорення вільного падіння на її поверхні та гравітаційну сталу.

Розв’язування

Дано: R =6,4∙10⁶ м; g = 9,8 м/с²; G = 6,67∙10^-11 Н∙м²/кг². Знайти: M_з -?

Прискорення вільного падіння для будь-якого небесного тіла 

g = GM/R². З цієї формули M = gR²/G. Підставимо значення величин, отримаємо:

 M = (9,8∙6,4²∙10¹²)/(6,67∙10^-11) = 60∙10²³ = 6∙10²⁴ кг.

Задача № 5

Визначте прискорення вільного падіння на висоті, яка дорівнює трьом радіусам Землі.

Розв’язування

Дано: h = 3R; g₀ = 9,8 м/с². Знайти: g -?

Прискорення вільного падіння для будь-якого небесного тіла на певній висоті h визначається за формулою g = GM/(R + h)² (1), а на поверхні 

g₀ = GM/R². Підставимо у вираз (1) значення висоти, отримаємо:

g = GM/(R + 3R)² = GM/(4R)² = 1/16[GM/R²] = 1/16g₀. Підставимо значення величин, отримаємо: g = 9,8/16 = 0,6 м/с².

Задача № 6

Визначте гравітаційне прискорення на поверхні планети, маса якої вдвічі більша від маси Землі, а радіус вдвічі більший за радіус Землі.

Розв’язування

 Дано: M = 2M_з; R = 2R_з; g_з = 9,8 м/с². Знайти: g -?

 Прискорення вільного падіння для будь-якого небесного тіла 

g = GM/R². Для Землі g_з = GM_з/R_з ², тоді для планети

g = G(2M_з)/(2R_з) ² = GM_з/2R_з ² = ½(GM_з/R_з ²) = 1/2 g_з = 9,8/2 = 4,9 м/с².

Задача № 19.11 (збірник)

Підкинутий вгору камінь упав на землю через 4 с. Визначте початкову швидкість його руху. Якої висоти він досяг? З якою швидкістю впав на землю?

Розв’язування

Дано: t = 2 с; g = 10 м/с². Знайти: V₀ -? h -? V -?

Вільне падіння тіла є прикладом рівноприскореного руху з прискоренням вільного падіння, тому використовуємо всі формули для цього руху. Якщо  підкинутий вгору камінь упав на землю через 4 с. то це означає, що вгору він рухався 2 с, а також падав теж 2 с. Тіло піднімається вгору до тих пір, поки його швидкість не стане рівна нулю (при русі вгору швидкість зменшується). Записуємо формулу швидкості V = V₀ – gt, але V = 0, тоді 0 = V₀ – gt, звідки

V₀ = gt. Підставимо значення величин, отримаємо: V₀ = 10∙2 = 20 м/с. Рух вгору і вниз симетричний, а це означає, що з якою швидкістю кинули тіло вниз, з такою швидкістю воно й упаде на землю, тобто V = 20 м/с. Висоту, на яку піднімається тіло, визначимо з формули:

1)    h = (V₀² – V²)/2g, але V = 0, тоді h = V₀²/2g. Підставимо значення величин, отримаємо: h = 400/20 = 20 м.

2)    h = V₀t – gt²/2 = 20∙2 – (10∙4)/2 = 40 – 20 = 20 м.

Задача № 19.12

Камінь падає без початкової швидкості з висоти 80 м. Який шлях він проходить за першу секунду свого руху? За останню?

Розв’язування

Дано: h = 80 м; V₀ = 0; t₁ = 1 с. Знайти: h₁ -? h₃ -?

Використаємо формулу h = V₀t + gt²/2, але V₀ = 0, тому h = gt²/2, звідки

t = √(2h/g) = √(160/10) = 4с. У формулу  h₁ = gt₁²/2 підставимо значення:

h₁ = (10∙1²)/2 = 5 м, тобто за першу секунду тіло пройшло 5 м. Для того, щоб знайти шлях за останню секунду, потрібно знайти шлях за попередні три секунди t₂ (з чотирьох): 

h₂ = gt₂²/2 = (10∙3²)/2 = 45 м. Якщо тіло падає з висоти 80 м і перед останньою секундою проходить 45 м, то за останню секунду

h₃ = h – h₂ = 80 – 45 = 35 м.  

Задача № 19.13

 Камінь падає без початкової швидкості з висоти 80 м. За який час він проходить перший і останній метри свого шляху?

Розв’язування

Дано: h = 80 м; V₀ = 0; h₁ = 1 м. Знайти: t₁ -? t₃ -?

 Використаємо формулу h = V₀t + gt²/2, але V₀ = 0, тому h = gt²/2, звідки

t = √(2h/g) = √(160/10) = 4с. З формули 

 h₁ = gt₁²/2 обчислюємо

t₁ = √(2h₁/g) = √(2/10) = 0,45 с. Перед останнім метром тіло проходить 

h₂ = 79 м, тоді час, який воно на це витрачає, становить

t₂ = √(2h₂/g) = √((2∙79)/10) = 3,97 с, тому останній метр тіло проходить за 

t₃ = t – t₂ = 4 – 3,97 = 0,03 с.

Задача № 19.14

Тіло підкидають вгору зі швидкістю 20 м/с. Через який час після кидка воно опиниться на висоті 15 м?

Розв’язування

Дано: V₀ = 20 м/с; h = 15 м. Знати: t -?

Якщо тіло рухається вгору, то h = V₀t - gt²/2 (бо тіло рухається проти сили тяжіння). Підставимо у рівняння відомі величини:

15 = 20t – 5t². Ми отримали квадратне рівняння 

5t² – 20t + 15 = 0, всі доданки поділимо на п’ять, отримаємо:  

t² – 4t + 3 = 0. Розв’яжемо рівняння: 

D = 16 – 12 = 4, √D = 2, тоді

t₁ = (4 + 2)/2 = 3 c, t₂ = (4 – 2)/2 = 1 c. На висоті 15 м тіло побуває двічі: через одну секунду після кидка, коли буде рухатися вгору, і через 3 с після кидка, коли буде рухатися вниз.