П'ятниця, 24.02.2023, 9 клас

 

Розв’язування задач на графіки та рівняння руху

Задача № 1

На рисунку подано графік проекції швидкості руху для деякого тіла. Визначте шлях і переміщення тіла протягом 4 с від початку відліку часу. Запишіть рівняння координати, якщо в момент часу t=0 тіло було в точці з координатою  –20 м.

Розв’язування

Кожен учень повинен знати геометричний зміст переміщення: переміщення чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком швидкості.

За перші 2 секунди переміщення буде додатнім і дорівнює 

S₁ = 1/2∙20∙2 = 20 м (площа трикутника), за наступні 2 секунди (від 2 до 4 секунд) переміщення від’ємне (графік лежить у ІV чверті), тобто 

S₂ = - 1/2∙20∙2 = - 20 м. Протягом 4 секунд 

S = S₁ + S₂ = 20 – 20 = 0. Шлях завжди додатній, тобто

L = L₁ + L₂ = 20 + 20 = 40 м.

Початкова швидкість V₀ = 20 м/с, прискорення визначимо за формулою

a = (V – V₀)/t, виберемо час 2 с, для якого швидкість вкінці другої секунди становить 0 м/с, тоді 

а = (0 – 20)/2 = - 10 м/с². Підставимо значення відомих величин у рівняння координати x = x₀ + V₀t + at²/2, тоді

х = - 20 + 20t – 5t².

Задача № 2

На рисунку подано графік проекції швидкості руху для деякого тіла. Визначте шлях і переміщення тіла протягом 4 с від початку відліку часу. Запишіть рівняння швидкості.

Кожен учень повинен знати геометричний зміст переміщення: переміщення чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком швидкості. За перші 4 секунди переміщення буде додатнім і дорівнює площі прямокутної трапеції  

S = (8 + 16) 4/2 = 48 м.  Початкова швидкість V₀ = 8 м/с, прискорення визначимо за формулою

a = (V – V₀)/t, виберемо час 4 с, для якого швидкість вкінці 4 секунди становить 

16 м/с, тоді а = (16 – 8)/4 = 2 м/с². Підставимо значення відомих величин у рівняння швидкості V = V₀ + at, тоді

х = 8 + 2t.

Задача № 3

На рисунку подано графік проекції швидкості руху для деякого тіла. Визначте переміщення тіла протягом 10 с від початку відліку часу.

Кожен учень повинен знати геометричний зміст переміщення: переміщення чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком швидкості. За перші 10 секунди переміщення буде додатнім і дорівнює площі прямокутника         

S = (32∙10)/2 = 160 м. 

Задача № 4

Рівняння координат двох тіл, які рухаються вздовж осі OX, мають вигляд:

х₁ = 8 – 2t + t²; x₂ = - 2 – 5t + 2t².

1) Для кожного тіла визначте: а) яким є його рух; б) початкову координату; в) модуль і напрямок початкової швидкості; г) прискорення руху.

2) Знайдіть час і координату зустрічі тіл.

3) Для кожного тіла запишіть рівняння V(t) і S(t).

Розв’язування

1). Такі задачі розв’язуються шляхом порівняння даного рівняння та рівняння руху у загальному вигляді:

 х₁ = 8 – 2t + t²

  х = x₀ + V₀t + at²/2. З порівняння початкова координата (вільне число) 

х₀ = 8 м; при літері t стоїть початкова швидкість V₀ = - 2 м/с, тобто початкова швидкість була напрямлена проти вибраної осі; при t² стоїть не прискорення, а його половина (а/2), тобто а = 2 м/с² (бо при t² стоїть одиниця). Прискорення додатне, швидкість тіла зростає.

 х₂ = - 2  – 5t + 2t²

  х = x₀ + V₀t + at²/2. З порівняння початкова координата (вільне число)              

х₀ = - 2 м; при літері t стоїть початкова швидкість V₀ = - 5 м/с, тобто початкова швидкість була напрямлена проти вибраної осі; при t² стоїть не прискорення, а його половина (а/2), тобто а = 4 м/с² (бо при t² стоїть число 2). Прискорення додатне, швидкість тіла зростає.

2). У місці зустрічі координати двох тіл рівні, за цієї умови і розв’язується дана задача.

х₁ = х₂ або 8 – 2t + t² = - 2  – 5t + 2t². Приведемо рівність до квадратного рівняння: t² – 3t – 10 = 0, D = 49, √D = 7, t₁ = 5, t₂ = - 2. Час не буває від’ємним, вибираємо t = 5 (с). Підставляємо значення часу у будь-яке рівняння і визначаємо координату зустрічі х = 8 - 2∙5 + 25 = 23 (м). Тіла зустрілись через 5 секунд у точці з координатою 23 м.

3). Загальне рівняння швидкості V = V₀ + at. Підставимо значення початкової швидкості та прискорення для обох тіл, отримаємо:

   V₁ = - 2 + 2t; V₂ = - 5 + 4t.

Переміщення від рівняння руху відрізняється тим, що не має початкової координати (вільного числа), тому S₁ = – 2t + t²; S₂ = – 5t + 2t².

Задача № 5

З якою максимальною швидкістю повинен зайти на посадку літак, щоб приземлитися на смузі завдовжки 850 м, якщо гальмівне прискорення дорівнює 4 м/с²?

Розв’язування

Дано: S = 850 м; V = 0; a = - 4 м/с². Знайти: V₀ - ?

 Якщо ви хоч щось трохи розумієте, то знаєте, що в кінці смуги літак повинен зупинитися, тобто його кінцева швидкість дорівнює нулю, літак гальмує, його прискорення від’ємне. Використаємо формулу переміщення, яка не містить часу (в умові задачі часу нема) S = (V² – V₀²)/2a, але V² = 0 (бо V = 0), тоді         

S = (– V₀²)/2a, звідки V₀² = - 2аS або V₀ =√(- 2аS). Підставимо значення величин, отримаємо: V₀ = √(-2∙(-4)∙850) = 82,5 м/с.