Розв’язування задач, підготовка до контрольної роботи

1. Задачі на інтерференцію та дифракцію світла. Використовуємо формули: умова максимумів Δd = kλ, де k – ціле число 0; 1; 2; … Умова мінімумів      Δd = (2k + 1)λ/2, умова максимумів для дифракційної гратки dsinφ = kλ, період дифракційної гратки d = L/N, де L – одиниця довжини або довжина гратки, N – кількість штрихів.

Задача № 1059

Два когерентних джерела, відстань між якими становить 1 мм, випускають монохроматичне світло з довжиною хвилі 600 нм. Визначити, на якій відстані від центрального максимуму буде максимум першого порядку, якщо відстань джерел від екрана дорівнює 4 м.

Розв’язування

Спочатку обов’язково зробимо малюнок, на якому позначимо відомі величини. Нехай маленька відстань між джерелами буде позначатися l, а велика відстань між джерелами та екраном – L.

Центральний максимум лежить на екрані на середньому перпендикулярі, проведеному від середини відрізка, що сполучає джерела, до екрана (точка О).  Відстань від центрального максимуму до максимуму першого порядку позначимо «х» (точка А). Проведемо від джерел до точки А промені, шлях першого променю позначимо d₁, шлях другого – d₂.  Умова максимумів Δd =kλ, з другого боку з малюнка Δd=d₁ – d₂. З більшого прямокутного трикутника, що містить d₁,  за теоремою Піфагора 

d₁² = L² + (l/2 + x)² = L² + l²/4 + lx + x²,  з другого (меншого) трикутника, що містить d₂,  

d₂² = L² + (l/2 - x)² = L² + l²/4 - lx + x². Обчислимо різницю 

d₁² – d₂² = 2lx, розкладемо різницю квадратів на множники 

d₁² – d₂² = (d₁ + d₂)(d₁ – d₂) = 2lx. Відстань між джерелами така мала порівняно з відстанню до екрана, що можна наближено вважати d₁ = L, d₂ = L, тоді 

d₁ + d₂ = 2L, різниця d₁ – d₂ = Δd, тоді Δd∙2L = 2lx, звідки Δd =lx/L, але Δd =kλ, тому lx/L = kλ. З цієї формули виражаємо будь-яку величину, але у цій задачі потрібно визначити x = kλL/l. Підставимо значення величин, (якщо перший порядок, то k = 1) 

х = 1∙6∙10^-7∙4/(1∙10^-3) = 23∙10^-4  м = 2,3 мм.

 Задача № 2

Два когерентних джерела, відстань між якими становить 2 мм, випускають монохроматичне світло з довжиною хвилі 500 нм. Визначити  відстань від джерел до екрана, якщо максимум третього порядку знаходиться  на відстані 4,5 мм від центрального максимуму.

Розв’язування

Спочатку обов’язково зробимо малюнок, на якому позначимо відомі величини. Нехай маленька відстань між джерелами буде позначатися l, а велика відстань між джерелами та екраном – L.

Центральний максимум лежить на екрані на середньому перпендикулярі, проведеному від середини відрізка, що сполучає джерела, до екрана (точка О).  Відстань від центрального максимуму до максимуму першого порядку позначимо «х» (точка А). Проведемо від джерел до точки А промені, шлях першого променю позначимо d₁, шлях другого – d₂.  Умова максимумів Δd =kλ, з другого боку з малюнка Δd=d₁ – d₂. З більшого прямокутного трикутника, що містить d₁, за теоремою Піфагора 

d₁² = L² + (l/2 + x)² = L² + l²/4 + lx + x²,  з другого (меншого) трикутника, що містить d₂, d₂² = L² + (l/2 - x)² = L² + l²/4 - lx + x². Обчислимо різницю 

d₁² – d₂² = 2lx, розкладемо різницю квадратів на множники d₁² – d₂² = (d₁ + d₂)(d₁ – d₂) = 2lx. Відстань між джерелами така мала порівняно з відстанню до екрана, що можна наближено вважати d₁ = L, d₂ = L, тоді d₁ + d₂ = 2L, різниця

d₁ – d₂ = Δd, тоді Δd∙2L = 2lx, звідки Δd =lx/L, але Δd =kλ, тому lx/L = kλ. З цієї формули виражаємо будь-яку величину (як бачите задачі такого типу розв’язуються однаково, є єдиний алгоритм розв’язування задач, але під час виконання контрольної роботи його потрібно прописувати). У цій задачі потрібно визначити відстань до екрану L = lx/kλ. Підставимо значення величин 

L = (2∙10^-3∙4,5∙10^-3)/(3∙5∙10^-7) = 6 м.

Задача № 1066

Дифракційна гратка має 120 штрихів на 1 мм. Визначити довжину хвилі монохроматичного світла, що падає на гратку, якщо кут між двома спектрами першого порядку становить 8⁰.

Розв’язування

Період дифракційної гратки d = L/N = 1∙10^-3/120 (м). З умови максимумів  dsinφ = kλ визначаємо λ = dsinφ/k, де φ – це кут між центральним максимумом та максимумом першого порядку, а в задачі відомий кут між максимумами перших порядків (зліва і справа від центрального), тому φ = 8/2 = 4⁰. Підставимо значення величин λ = (1∙10^-3∙sin4⁰)/(120∙1) = 5,8∙10^-7 м.

Задача № 1067

Визначити кут відхилення зеленого світла (λ = 0,55 мкм) у спектрі першого порядку, утвореному за допомогою дифракційної гратки, період якої 0,02 мм.

Розв’язування

З умови максимумів  dsinφ = kλ визначаємо sinφ = kλ/d. Підставимо значення величин  sinφ = 1∙5,5∙10^-7/2∙10^-5 = 0,0275, звідки φ = arcsin(0,0275) = 1,6⁰.

Задача № 1069

Який період має дифракційна гратка, що опромінюється світлом з довжиною хвилі 0,76 мкм, якщо на екрані, віддаленому від неї на 1 м, відстань між спектрами першого порядку дорівнює 15,2 см?

Розв’язування

Спочатку обов’язково зробимо малюнок, на якому позначимо відомі величини. Відстань до екрану позначимо L, відстань між центральним максимумом та максимумом першого порядку позначимо x.

Умова максимумів  dsinφ = kλ, але для максимумом першого порядку кут φ такий малий (дивитись попередню задачу), що можна замінити sinφ на tgφ, тоді dtgφ = kλ. З трикутника tgφ = x/L, тоді dx/L = kλ, звідки d = kλL/x. Відстань х – відстань між центральним максимумом та максимумом першого порядку, а нам відома відстань між двома максимумами першого порядку (зліва і справа від центрального), тому  х = 15,2 см/2 = 7,6 см.  Підставимо значення величин 

d = (1∙7,6∙10^-7∙1)/(7,6∙10^-2) = 1∙10^-5 м.

Задача № 1070

Яку ширину має весь спектр першого порядку (довжини хвиль лежать у межах від 0,38 до 0,76 мкм), утворений на екрані, віддаленому на 3 м від дифракційної гратки  з періодом 0,01 мм?

Розв’язування

Спочатку обов’язково зробимо малюнок, на якому позначимо відомі величини. Відстань до екрану позначимо L, відстань між центральним максимумом та максимумом першого порядку позначимо x, для фіолетового кольору х_ф, для червоного кольору х_ч. Ширина всього спектру випромінювання Х = х_ч – х_ф (1).

 

Умова максимумів  dsinφ = kλ, але для максимумом першого порядку кут φ такий малий (дивитись попередню задачу), що можна замінити sinφ на tgφ, тоді dtgφ = kλ. З трикутника tgφ = x/L, тоді dx/L = kλ, звідки х = kλL/d, тоді х_ч = kλ_чL/d, х_ф = kλ_фL/d (2). Підставимо (2) в (1), отримаємо 

Х = kλ_чL/d - х_ф = kλ_фL/d = kL(λ_ч – λ_ф)/d. Підставимо значення величин 

Х = (1∙3∙(7,6∙10^-7 – 3,8∙10^-7))/(1∙10^-5) = (1∙3∙ 3,8∙10^-7)/(1∙10^-5) = 11,4∙10^-2 м = 11,4 см.

2. Задачі на заломлення. Використовуємо формулу закону заломлення:  

sinα/sinβ = n, n = n₁/n₂.

Задача № 1

Під яким кутом повинен падати промінь на скло, щоб між заломленим та відбитим променями був кут 120⁰?

Розв’язування

Зробимо малюнок, намалюємо падаючий, відбитий та заломлений промені.

Як видно з малюнка, сума кутів α + β + 120⁰ = 180⁰, звідки α + β = 60⁰ або 

β = 60⁰ – α. Підставимо значення кута β у формулу sinα/sinβ = n, тоді  

sinα/sin(60⁰ – α). Розкладемо синус різниці кутів sin(60⁰ – α) за правилом, тоді sinα/(sin60⁰cosα – cos60⁰sinα) = sinα/(0,866cosα – 0,5sinα) = 1,6. З цього рівняння sinα = 1,6∙(0,866cosα – 0,5sinα) або sinα = 1,39cosα – 0,8sinα, тоді                 

1,8sinα = 1,39cosα. Поділимо ліву і праву частини рівняння на cosα, отримаємо: 1,8tgα = 1,39, звідки tgα = 0,7722. Кут α = arctg(0,7722) = 38⁰.

Задача № 2

Промінь падає під кутом 50⁰ на трикутну призму із заломним кутом 60⁰. Визначити кут заломлення променю під час виходу з призми.

Розв’язування

Зробимо малюнок призми, позначимо поширення світлових променів.

Кут α₁ – кут падіння на першу грань призми. Промінь переходить з повітря у скло, тому кут заломлення менший за кут падіння. Обчислимо його з формули sinα₁/sinβ₁ = n, звідки sinβ₁ = sinα₁/n. Підставимо значення величин:              

sinβ₁ = sin50⁰/1,6 = 0,4788, β₁ = arcsin(0,4788) = 29⁰. Заломний кут – це кут у вершині призми. Позначимо його φ. Кут α₂ визначимо з трикутника, що намальований всередині призми: лівий кут – β₁, правий кут – α₂, нижній кут – (180⁰-φ). Сума трьох кутів трикутника дорівнює 180⁰, тому 

α₂ + β₁ + (180 – φ) = 180⁰ або α₂ = φ - β₁ = 60⁰ – 29⁰ = 31⁰. Світловий промінь, що виходить з призми, переходить із скла у повітря, тому β₂ > α₂. Обчислимо α₂ з формули sinα₂/sinβ₂ = 1/n (бо перехід з середовища більш густого у менш густе), звідки sinβ₂ = nsinα₂. Підставимо значення величин: sinβ₂ = 1,6∙sin31⁰ = 0,8241 або β₂ = arcsin(0,8241) = 55,5⁰.